Permutation Sym3 nicht komm. < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:06 So 30.12.2012 | | Autor: | Argot |
| Aufgabe | [mm] \pmat{ 1 & 2 } \pmat{ 2 & 3 } [/mm] = [mm] \pmat{1 & 2 & 3}
[/mm]
[mm] \pmat{ 2 & 3 } \pmat{ 1 & 2 } [/mm] = [mm] \pmat{1 & 3 & 2} [/mm] |
Im Skript steht, dass die Permutation [mm] Sym_3 [/mm] nicht kommutativ ist. Als Beispiel wurde die obenstehende Aufgabe angegeben.
Wenn ich diese aber rechne, erhalte ich als Ergebnis (123). Wo liegt der Fehler?
Einzelbetrachtung:
[mm] \pmat{ 1 & 2 } [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 } [/mm]
[mm] \pmat{ 2 & 3 } [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 2 } [/mm]
Die Rechnung (Von Rechts nach Links, also anfangen mit [mm] \pmat{ 1 & 2}):
[/mm]
[mm] \pmat{ 2 & 3 } \pmat{ 1 & 2 } [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \\ 3 & 1 & 2 } [/mm] = [mm] \pmat{ 3 & 1 & 2 } [/mm] = [mm] \pmat{1 & 2 & 3} \not= \pmat{1 & 3 & 2}
[/mm]
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Hallo Argot,
> [mm]\pmat{ 1 & 2 } \pmat{ 2 & 3 }[/mm] = [mm]\pmat{1 & 2 & 3}[/mm]
> [mm]\pmat{ 2 & 3 } \pmat{ 1 & 2 }[/mm] = [mm]\pmat{1 & 3 & 2}[/mm]
>
> Im Skript steht, dass die Permutation [mm]Sym_3[/mm] nicht
> kommutativ ist. Als Beispiel wurde die obenstehende Aufgabe
> angegeben.
Wieso Aufgabe? Das ist ein Beispiel für 2 Permutationen aus [mm]S_3[/mm], die nicht kommutativ sind ...
Was ist denn die Aufgabe?
> Wenn ich diese aber rechne, erhalte ich als Ergebnis (123).
> Wo liegt der Fehler?
>
> Einzelbetrachtung:
>
> [mm]\pmat{ 1 & 2 }[/mm] = [mm]\pmat{ 1 & 2 & 3 \\
2 & 1 & 3 }[/mm]
> [mm]\pmat{ 2 & 3 }[/mm] = [mm]\pmat{ 1 & 2 & 3 \\
1 & 3 & 2 }[/mm]
>
> Die Rechnung (Von Rechts nach Links, also anfangen mit
> [mm]\pmat{ 1 & 2}):[/mm]
>
> [mm]\pmat{ 2 & 3 } \pmat{ 1 & 2 }[/mm] = [mm]\pmat{ 1 & 2 & 3 \\
2 & 1 & 3 \\
3 & 1 & 2 }[/mm]
Komisch aufgeschrieben, aber die letzte Zeile ist die richtige Ergebniszeile!
> = [mm]\pmat{ 3 & 1 & 2 }[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Die 3 geht auf 2 und nicht auf die 1 !
> = [mm]\pmat{1 & 2 & 3} \not= \pmat{1 & 3 & 2}[/mm]
Nochmal in aller Ausführlichkeit:
Es ist [mm](2 \ 3)(1 \ 2) \ = \ \pmat{1&2&3\\
1&3&2}\circ\pmat{1&2&3\\
2&1&3} \ = \ \pmat{1&2&3\\
3&1&2}[/mm]
Denn von hinten nach vorne wird abgebildet:
[mm]1\mapsto 2\mapsto 3[/mm]
[mm]2\mapsto 1\mapsto 1[/mm]
[mm]3\mapsto 3\mapsto 2[/mm]
Das hattest du ja richtig!
Und [mm]\pmat{1&2&3\\
3&1&2}[/mm] entspricht doch in Zykelschreibweise [mm](1 \ 3 \ 2)[/mm]
"Die 1 geht auf die 3, die 3 auf die 2 und die 2 auf die 1"
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:18 Mo 31.12.2012 | | Autor: | Argot |
> "Die 1 geht auf die 3, die 3 auf die 2 und die 2 auf die 1"
Das ist ja ärgerlich. Die Idee habe ich also doch verstanden, aber trotzdem die Schreibweise falsch umgesetzt (dachte es muss am Ende auch in der Zyklenschreibweise ein "imaginäres 1-2-3 oben stehen"). Vielen Dank und einen guten Rutsch!
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