Peano-Kern Mittelpunktregel < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:41 Mo 09.09.2013 | | Autor: | yyannekk |
| Aufgabe | Der Peano-Kern der Mittelpunktregel [mm] \integral_{0}^{1}{f(x) dx }\approx [/mm] f(0.5) ist K(x)=0.5 * min { [mm] x^2, (1-x)^2 [/mm] }
Lösung: Die Fehlerordnung der Mittelpunktregel ist 2, daher gilt K(x) = 0.5 * [mm] (1-x)^2 [/mm] - [mm] 1*(0.5-x)_{+} [/mm] = 0.5 * min { [mm] x^2, (1-x)^2 [/mm] } |
Hi
Eigentlich ist mir alles klar bei der Aufgabe. Mit der Formel ausm Skript komme ich bis
K(x) = 0.5 * [mm] (1-x)^2 [/mm] - [mm] 1*(0.5-x)_{+}
[/mm]
allerdings verstehe ich nicht was das [mm] (0.5-x)_{+} [/mm] bedeutet, also das + im Index.
Folglich verstehe ich die Rechnung 0.5 * [mm] (1-x)^2 [/mm] - [mm] 1*(0.5-x)_{+} [/mm] = 0.5 * min { [mm] x^2, (1-x)^2 [/mm] } nicht. Könnte mir das jmd erklären?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:38 Di 10.09.2013 | | Autor: | meili |
Hallo,
> Der Peano-Kern der Mittelpunktregel [mm]\integral_{0}^{1}{f(x) dx }\approx[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> f(0.5) ist K(x)=0.5 * min { [mm]x^2, (1-x)^2[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}
>
> Lösung: Die Fehlerordnung der Mittelpunktregel ist 2,
> daher gilt K(x) = 0.5 * [mm](1-x)^2[/mm] - [mm]1*(0.5-x)_{+}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= 0.5 * min
> { [mm]x^2, (1-x)^2[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}
> Hi
>
> Eigentlich ist mir alles klar bei der Aufgabe. Mit der
> Formel ausm Skript komme ich bis
> K(x) = 0.5 * [mm](1-x)^2[/mm] - [mm]1*(0.5-x)_{+}[/mm]
> allerdings verstehe ich nicht was das [mm](0.5-x)_{+}[/mm]
> bedeutet, also das + im Index.
Es ist folgendermaßen definiert:
[mm] $(0.5-x)_{+} [/mm] := [mm] \begin{cases} 0.5 - x, & \mbox{für } x \le 0.5 \\ 0, &\mbox{für } x > 0.5 \end{cases}$
[/mm]
> Folglich verstehe ich die Rechnung 0.5 * [mm](1-x)^2[/mm] -
> [mm]1*(0.5-x)_{+}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= 0.5 * min { [mm]x^2, (1-x)^2[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
} nicht. Könnte
> mir das jmd erklären?
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß
meili
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moin,
der beitrag ist zwar schon länger her, aber ich beschäftige mich zur zeit auch mit diesen Thema. meine frage ist:
warum ist (0,5-x)_+ für 0,5-x falls [mm] x\le [/mm] 0,5 und 0, falls x>0,5 definiert bzw wie kommt man darauf.
in unseren skript haben die peano kern für den mittelpunktregel folg def.
für p=2
[mm] k_p(\tau)=\bruch{(1-\tau)^p}{p!}-\summe_{i=1}^{s}b_i\bruch{((c_i-\tau)_+)^{p-1}}{(p-1)!}
[/mm]
[mm] k_2(\tau)=\bruch{(1-\tau)^2}{2}-(\bruch{1}{2}-\tau)_+=\begin{cases} \bruch{\tau^2}{2}, & \mbox{für } 0\le\tau\le\bruch{1}{2} \mbox{ } \\ \bruch{(1-\tau)^2}{2}, & \mbox{für } \bruch{1}{2}\le\tau\le 1 \mbox{ u} \end{cases}
[/mm]
betrachten wir hhier nicht der 1.Teil d.h. [mm] \bruch{(1-\tau)^2}{2}, [/mm] oder? bzw. wie kommt man auf [mm] \bruch{\tau^2}{2} [/mm] und [mm] \bruch{(1-\tau)^2}{2} [/mm] und ddie dazugehörigen [mm] \tau- [/mm] werte. warum betr man hier im alten beispiel den 2. teil bzw warum betrachtet man bei diesen beispiel nicht den 2. teil sprich [mm] (\bruch{1}{2}-\tau)_+? [/mm] kann jemnad mir das verständlich erklären?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 04:29 Mo 27.10.2014 | | Autor: | meili |
Hallo questionpeter,
> moin,
> der beitrag ist zwar schon länger her, aber ich
> beschäftige mich zur zeit auch mit diesen Thema. meine
> frage ist:
>
> warum ist (0,5-x)_+ für 0,5-x falls [mm]x\le[/mm] 0,5 und 0, falls
> x>0,5 definiert bzw wie kommt man darauf.
Ich würde sagen: aus Faulheit.
Nein, etwas schöner und hoffentlich verständlicher ausgedrückt:
Man definiert $f_+$, hier angewendet auf (0,5-x),
um eine kompaktere Schreibweise zu ermöglichen und sich nicht im
Fehlerterm und womöglich unterm Integral mit Fallunterscheidungen
herumplagen zu müssen.
>
> in unseren skript haben die peano kern für den
> mittelpunktregel folg def.
> für p=2
>
> [mm]k_p(\tau)=\bruch{(1-\tau)^p}{p!}-\summe_{i=1}^{s}b_i\bruch{((c_i-\tau)_+)^{p-1}}{(p-1)!}[/mm]
Ok, hier kommt ja auch [mm] $(c_i-\tau)_+$ [/mm] vor.
>
Nun eingesetzt für p=2 (Ist s=1, [mm] $b_1=1, c_1=\bruch{1}{2}$?)
[/mm]
dürfte bis
[mm] $k_2(\tau)=\bruch{(1-\tau)^2}{2}-(\bruch{1}{2}-\tau)_+$
[/mm]
klar sein.
> [mm]k_2(\tau)=\bruch{(1-\tau)^2}{2}-(\bruch{1}{2}-\tau)_+=\begin{cases} \bruch{\tau^2}{2}, & \mbox{für } 0\le\tau\le\bruch{1}{2} \mbox{ } \\ \bruch{(1-\tau)^2}{2}, & \mbox{für } \bruch{1}{2}\le\tau\le 1 \mbox{ u} \end{cases}[/mm]
Um auf die Fallunterscheidung zu kommen, setzt man die Definition von $f_+$
(siehe Beitrag von fred97) bzw. die Folgerung daraus für [mm] $(\bruch{1}{2}-\tau)$ [/mm] ein.
[mm] $(\bruch{1}{2}-\tau)_+ [/mm] = [mm] max\{0; (\bruch{1}{2}-\tau)\} [/mm] = [mm] \begin{cases} \bruch{1}{2}-\tau, & \mbox{für } \tau \le \bruch{1}{2} \\ 0, & \mbox{für } \tau > \bruch{1}{2} \end{cases}$
[/mm]
Da wohl [mm] $\tau \in [/mm] [0;1]$ ist und für [mm] $\tau [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}$ $(\bruch{1}{2}-\tau) [/mm] = 0$, ergeben sich die von dir angegebenen Grenzen bei den Fällen.
Wird das eingesetzt und etwas zusammengefasst, ist:
[mm]k_2(\tau)=\bruch{(1-\tau)^2}{2}-(\bruch{1}{2}-\tau)_+=\begin{cases}\bruch{1}{2}*\left(1-2\tau +\tau^2\right)-\bruch{1}{2}+\tau = \bruch{\tau^2}{2}, & \mbox{für } 0\le\tau\le\bruch{1}{2} \mbox{ } \\ \bruch{(1-\tau)^2}{2}-0 = \bruch{(1-\tau)^2}{2}, & \mbox{für } \bruch{1}{2}\le\tau\le 1 \end{cases}[/mm]
>
> betrachten wir hhier nicht der 1.Teil d.h.
> [mm]\bruch{(1-\tau)^2}{2},[/mm] oder? bzw. wie kommt man auf
> [mm]\bruch{\tau^2}{2}[/mm] und [mm]\bruch{(1-\tau)^2}{2}[/mm] und ddie
> dazugehörigen [mm]\tau-[/mm] werte. warum betr man hier im alten
> beispiel den 2. teil bzw warum betrachtet man bei diesen
> beispiel nicht den 2. teil sprich [mm](\bruch{1}{2}-\tau)_+?[/mm]
> kann jemnad mir das verständlich erklären?
Eine etwas andere Frage ist, warum man in Peano-Kernen nur den
positiven Teil $f_+$ "braucht" und es nicht ins negative gehen darf.
Dazu müsstest Du die Beweise dazu analysieren.
Gruß
meili
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:52 Di 10.09.2013 | | Autor: | fred97 |
Ergänzend:
Der Positivteil [mm] f_{+} [/mm] einer Funktion f ist definiert als [mm] f_{+}(x):= \max \{ f(x) , 0 \}.
[/mm]
Der Negativteil [mm] f_{-} [/mm] einer Funktion f ist definiert als [mm] f_{-}(x):= \max \{ -f(x) , 0 \}.
[/mm]
Es gilt dann
[mm] f_{+} \ge [/mm] 0,
[mm] f_{-} \ge [/mm] 0
und
$ f = [mm] f_{+} -f_{-}$ [/mm] und [mm] $f_{+} [/mm] + [mm] f_{-} [/mm] = |f|.$
Manchmal schreibt man auch [mm] f^{+} [/mm] statt [mm] f_{+} [/mm] und [mm] f^{-} [/mm] statt [mm] f_{-}
[/mm]
FRED
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