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(Frage) überfällig  | | Datum: | 11:25 So 22.06.2008 | | Autor: | Adeptus |
| Aufgabe | | [Dateianhang nicht öffentlich] |
Hallo,
gegeben sei der eukl. Vektorraum [mm] \IR^2 [/mm] mit [mm] x,y\in\IR^2 [/mm] .
Ich sitze gerade an Aufgabe b). Ich habe herausbekommen, dass das Skalarprodukt, für welches Phi und Psi zueinander adjungiert sein müssen, folgende Bedingung erfüllen muss:
[mm] =0
[/mm]
Also:
[mm] =0
[/mm]
Zuerst dachte ich z.B. an folgende Konstruktion:
[mm] =\pmat{ 0 \\ x_1 }*\pmat{ y_1 \\ y_2 }
[/mm]
Aber das ist natürlich kein Skalarprodukt, da die positive Definitheit verletzt ist.
Hat jemand von euch einen Tipp, wie man das entsprechende Skalarprodukt definieren könnte?
Vielen Dank!
P.S.:
So kam ich auf die Bedingung:
Wenn Phi und Psi zueinander adjungiert sein sollen, muss gelten:
<Phi(x), y> = <x, Psi(y)> <=> <Ax, y> = <x, By> <=>
<Ax,y> - <x, By> = 0 <=> <x, [mm] A^T [/mm] y> - <x, By> = 0 <=>
<x, [mm] A^T [/mm] y - By> = 0 <=> <x, [mm] (A^T-B)> [/mm] = 0
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Ich habe diese Frage auch hier gestellt: http://www.uni-protokolle.de/foren/viewtopic.php?p=1522472#1522472
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:23 So 22.06.2008 | | Autor: | pelzig |
> Wenn Phi und Psi zueinander adjungiert sein sollen, muss
> gelten:
> [...]
> <Ax,y> - <x, By> = 0 <=> <x, [mm]A^T[/mm] y> - <x, By> = 0
Das ist leider nicht richtig. [mm] A^T [/mm] ist zwar bzgl. des Standartskalarproduktes die Adjungierte von A (Damit hast du auch sofort Aufgabe c) gelöst...), aber für dieses unbekannte, noch zu bestimmende Skalarprodukt, weißt du das nicht.
> Hat jemand von euch einen Tipp, wie man das entsprechende
> Skalarprodukt definieren könnte?
Vielleicht solltest du es über die Gram-Matrix versuchen. Es muss dann gelten:
[mm]\langle Ax,y\rangle=\langle x,By\rangle \gdw x^TA^TGy = x^TGBy \gdw A^TG = GB[/mm], wobei G symmetrisch und positiv definit sein muss.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:42 Di 24.06.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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