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| Aufgabe | | Seien [mm] X_1 [/mm] und [mm] X_2 [/mm] unabhängige Zufallsvariablen, wobei welche [mm] pasc(r_i,p)-verteilt [/mm] seien mit [mm] r_i\in\IN [/mm] für i=1,2 und [mm] p\in(0,1). [/mm] Zeigen Sie, dass [mm] X_1+X_2 [/mm] dann [mm] pasc(r_1+r_2,p)-verteilt [/mm] ist. Wie ist [mm] X_1 [/mm] gegeben [mm] X_1+X_2=l [/mm] für l [mm] \ge r_1+r_2 [/mm] verteilt? |
Hallo!
Für den ersten Teil habe ich eine Lösung, die ich aber noch nicht ganz nachvollziehen kann. Vielleicht kann mir dabei jemand helfen? 
[mm] P({X_1+X_2=l})=P(\bigcup_{i=0}^{l}\{X_1=i, X_2=l-i\})
[/mm]
[mm] =\summe_{i=0}^l P(\{X_1=i\})*P(\{X_2=l-i\})
[/mm]
[mm] =\summe_{i=0}^l \vektor{i-1 \\ r_1-1}*p^{r_1}*(1-p)^{i-r_1}*\vektor{l-i-1 \\ r_2-1}*p^{r_2}*(1-p)^{l-i-r_2}
[/mm]
[mm] =\summe_{i=0}^l p^{r_1+r_2}*(1-p)^{l(r_1+r_2)}*\vektor{i-1 \\ r_1-1}*\vektor{l-i-1 \\ r_2-1}
[/mm]
[mm] =p^{r_1+r_2}*(1-p)^{l(r_1+r_2)}*\summe_{i=0}^l \vektor{i-1 \\ r_1-1}*\vektor{l-i-1 \\ r_2-1}
[/mm]
[mm] =p^{r_1+r_2}*(1-p)^{l(r_1+r_2)}*\vektor{l-1 \\ r_1+r_2-1}
[/mm]
Die erste Zeile verstehe ich noch,
aber schon bei der zweiten hakt es:
Warum erhalte ich [mm] =\summe_{i=0}^l P(\{X_1=i\})*P(\{X_2=l-i\}) [/mm] ?
Ich hätte eher gedacht, dass ich mit Poincaré die Vereinigung auseinanderziehen kann, was aber sehr unhandlich geworden wäre...
Der nächste Schritt ist dann einfach die "Übersetzung" von den Wahrscheinlichkeiten in ihre Pascal-Verteilungen.
Dann kommt die Umordnung und das Zusammenfassen und die nicht von i abhängigen Teile werden herausgezogen.
So weit so klar.
Aber was ist diese letzte Umformung? Wie geht die?
Außerdem: muss die Summe nicht bei i=1 starten, denn mit i=0 haben wir negative Einträge im Binomialkoeffizienten!
Es wäre toll, wenn mir jemand helfen kann!
Grüßle, Lily
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:09 So 11.01.2015 | | Autor: | luis52 |
> Hallo!
> Für den ersten Teil habe ich eine Lösung, die ich aber
> noch nicht ganz nachvollziehen kann. Vielleicht kann mir
> dabei jemand helfen?
>
> [mm]P({X_1+X_2=l})=P(\bigcup_{i=0}^{l}\{X_1=i, X_2=l-i\})[/mm]
>
> [mm]=\summe_{i=0}^l P(\{X_1=i\})*P(\{X_2=l-i\})[/mm]
>
> [mm]=\summe_{i=0}^l \vektor{i-1 \\ r_1-1}*p^{r_1}*(1-p)^{i-r_1}*\vektor{l-i-1 \\ r_2-1}*p^{r_2}*(1-p)^{l-i-r_2}[/mm]
>
> [mm]=\summe_{i=0}^l p^{r_1+r_2}*(1-p)^{l(r_1+r_2)}*\vektor{i-1 \\ r_1-1}*\vektor{l-i-1 \\ r_2-1}[/mm]
>
> [mm]=p^{r_1+r_2}*(1-p)^{l(r_1+r_2)}*\summe_{i=0}^l \vektor{i-1 \\ r_1-1}*\vektor{l-i-1 \\ r_2-1}[/mm]
>
> [mm]=p^{r_1+r_2}*(1-p)^{l(r_1+r_2)}*\vektor{l-1 \\ r_1+r_2-1}[/mm]
>
> Die erste Zeile verstehe ich noch,
> aber schon bei der zweiten hakt es:
> Warum erhalte ich [mm]=\summe_{i=0}^l P(\{X_1=i\})*P(\{X_2=l-i\})[/mm]
[mm] $X_1,X_2$ [/mm] sind unabhaengig.
> ?
> Ich hätte eher gedacht, dass ich mit Poincaré die
> Vereinigung auseinanderziehen kann, was aber sehr
> unhandlich geworden wäre...
>
> Der nächste Schritt ist dann einfach die "Übersetzung"
> von den Wahrscheinlichkeiten in ihre Pascal-Verteilungen.
> Dann kommt die Umordnung und das Zusammenfassen und die
> nicht von i abhängigen Teile werden herausgezogen.
> So weit so klar.
>
> Aber was ist diese letzte Umformung? Wie geht die?
Es gilt die alte Bauernregel:
[mm] $\sum_{i=0}^n\binom{M}{i}\binom{N-M}{n-i}=\binom{N}{n}$
[/mm]
Sie bildet den Hintergrund der hypergeometrischen Verteilung.
>
> Außerdem: muss die Summe nicht bei i=1 starten, denn mit
> i=0 haben wir negative Einträge im Binomialkoeffizienten!
In jenen Faellen wird der Binomialkoeffizient als Null definiert.
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Hallo!
Danke erstmal für deine Antwort!
> > [mm]P({X_1+X_2=l})=P(\bigcup_{i=0}^{l}\{X_1=i, X_2=l-i\})[/mm]
> >
> > [mm]=\summe_{i=0}^l P(\{X_1=i\})*P(\{X_2=l-i\})[/mm]
> >
> > [mm]=\summe_{i=0}^l \vektor{i-1 \\ r_1-1}*p^{r_1}*(1-p)^{i-r_1}*\vektor{l-i-1 \\ r_2-1}*p^{r_2}*(1-p)^{l-i-r_2}[/mm]
>
> >
> > [mm]=\summe_{i=0}^l p^{r_1+r_2}*(1-p)^{l(r_1+r_2)}*\vektor{i-1 \\ r_1-1}*\vektor{l-i-1 \\ r_2-1}[/mm]
>
> >
> > [mm]=p^{r_1+r_2}*(1-p)^{l(r_1+r_2)}*\summe_{i=0}^l \vektor{i-1 \\ r_1-1}*\vektor{l-i-1 \\ r_2-1}[/mm]
>
> >
> > [mm]=p^{r_1+r_2}*(1-p)^{l(r_1+r_2)}*\vektor{l-1 \\ r_1+r_2-1}[/mm]
>
> >
> > Warum erhalte ich [mm]=\summe_{i=0}^l P(\{X_1=i\})*P(\{X_2=l-i\})[/mm]
>
> [mm]X_1,X_2[/mm] sind unabhaengig.
Hm, leider kann ich damit noch nicht so viel anfangen.
Ich habe überlegt, ob das mit Poincaré zusammenhängt, aber ich komme auf keine Umformung wie ich vom einen zum anderen komme! :-/
>
> >
> > Aber was ist diese letzte Umformung? Wie geht die?
>
> Es gilt die alte Bauernregel:
>
> [mm]\sum_{i=0}^n\binom{M}{i}\binom{N-M}{n-i}=\binom{N}{n}[/mm]
>
Also damit habe ich es versucht, komme dann aber auf:
[mm] \vektor{l-2 \\ r_1+r_2-2}
[/mm]
das stimmt ja nicht...
(Darauf bin ich gekommen indem ich M=i-1 und [mm] i=r_1-1 [/mm] gesetzt habe und dann durch Einsetzen und Umformen.)
Könnte mir hier nochmal jemand helfen?
Das wäre klasse!
Grüßle, Lily
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:54 Di 13.01.2015 | | Autor: | luis52 |
> Hallo!
> Danke erstmal für deine Antwort!
>
> > > [mm]P({X_1+X_2=l})=P(\bigcup_{i=0}^{l}\{X_1=i, X_2=l-i\})[/mm]
>
> > >
> > > [mm]=\summe_{i=0}^l P(\{X_1=i\})*P(\{X_2=l-i\})[/mm]
> > >
> > > [mm]=\summe_{i=0}^l \vektor{i-1 \\ r_1-1}*p^{r_1}*(1-p)^{i-r_1}*\vektor{l-i-1 \\ r_2-1}*p^{r_2}*(1-p)^{l-i-r_2}[/mm]
>
> >
> > >
> > > [mm]=\summe_{i=0}^l p^{r_1+r_2}*(1-p)^{l(r_1+r_2)}*\vektor{i-1 \\ r_1-1}*\vektor{l-i-1 \\ r_2-1}[/mm]
>
> >
> > >
> > > [mm]=p^{r_1+r_2}*(1-p)^{l(r_1+r_2)}*\summe_{i=0}^l \vektor{i-1 \\ r_1-1}*\vektor{l-i-1 \\ r_2-1}[/mm]
>
> >
> > >
> > > [mm]=p^{r_1+r_2}*(1-p)^{l(r_1+r_2)}*\vektor{l-1 \\ r_1+r_2-1}[/mm]
>
> >
> > >
>
> > > Warum erhalte ich [mm]=\summe_{i=0}^l P(\{X_1=i\})*P(\{X_2=l-i\})[/mm]
> >
> > [mm]X_1,X_2[/mm] sind unabhaengig.
>
> Hm, leider kann ich damit noch nicht so viel anfangen.
> Ich habe überlegt, ob das mit Poincaré zusammenhängt,
> aber ich komme auf keine Umformung wie ich vom einen zum
> anderen komme! :-/
>
Oder ist dir die Gleichung
[mm]P({X_1+X_2=l})=P(\bigcup_{i=0}^{l}\{X_1=i, X_2=l-i\})
=\summe_{i=0}^l P(\{X_1=i\})*P(\{X_2=l-i\})[/mm]
unklar? Das Ereignis [mm] $({X_1+X_2=l})$ [/mm] wird in die disjunkten Ereignisse [mm] $(X_1=i, X_2=l-i)$ [/mm] zerlegt. Ferner wird die Unabhaengigkeit ausgenutzt ...
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> >
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> > >
> > > Aber was ist diese letzte Umformung? Wie geht die?
> >
> > Es gilt die alte Bauernregel:
> >
> > [mm]\sum_{i=0}^n\binom{M}{i}\binom{N-M}{n-i}=\binom{N}{n}[/mm]
> >
> Also damit habe ich es versucht, komme dann aber auf:
> [mm]\vektor{l-2 \\ r_1+r_2-2}[/mm]
> das stimmt ja nicht...
Du hast Recht, ich war mit meinem Tipp zu vorschnell. ![[]](/images/popup.gif) Hier ist eine Stelle, wohin die Reise gehen sollte.
> (Darauf bin ich gekommen indem ich M=i-1 und [mm]i=r_1-1[/mm]
> gesetzt habe und dann durch Einsetzen und Umformen.)
>
> Könnte mir hier nochmal jemand helfen?
> Das wäre klasse!
Kennst du den Begriff der momenterzeugenden Funktion? Damit wird der Nachweis wesentlich einfacher.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:11 Di 13.01.2015 | | Autor: | luis52 |
Noch eine Idee: Vielleicht wird es schon einfacher, wenn du [mm] $r_2=1$ [/mm] annimmst (geometrische Verteilung).
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