Partikulärlösung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:04 Mo 15.12.2008 | | Autor: | Boki87 |
| Aufgabe | Aufgabe 1:
[mm] y''(x)+3y'(x)+2y(x)=6xe^{2x}
[/mm]
Aufgabe 2:
[mm] y'''(x)+3y''(x)-4y(x)=2x^{2}e^{-x} [/mm] |
Es geht bei beiden Aufgaben um die reele Lösung der Dgl.
Den homogenen Teil hab ich kein Problem zu lösen, nur bei der Partikulärlösung.
Als aller erstes, wieso benutze ich bei der ersten den Ansatz mit [mm] q(x)=c_{0}+c_{1}x [/mm] und bei der zweiten den Ansatz mit [mm] q(x)=c_{2}x^{2}+c_{1}x+c_{0}? [/mm] Liegt es daran, dass ich bei der ersten Aufgabe rechts nur ein x stehen habe aber bei der zweiten ein [mm] x^{2}?
[/mm]
Und nun noch meine andere Frage bei der Aufgabe 1, ich habe das char.Pol aufgestellt und die homogene Lsg berechent.
Nun geht um die Partikulärlösung, aus [mm] \lambda_{1}=-2 [/mm] und [mm] \lambda_{2}=-1 [/mm] folgt der Ansatz [mm] (D+2E)(D+E)y(x)=6xe^{2x}
[/mm]
Nun kommt der nächste Schritt [mm] y_{p}(x)=(c_{0}+c_{1}x)e^{2x} [/mm] und daraus folgt [mm] (D+2E)(D+E)((c_{0}+c_{1}x)e^{2x})
[/mm]
[mm] =e^{2x}(D+4E)(D+3E)(c_{0}+c_{1}x)
[/mm]
[mm] =e^{2x}(D^{2}+7D+12E)(c_{0}+c_{1}x)
[/mm]
Soweit ist mir alles klar, beim DE kann man das E weglassen da es eine Einheitsabbildung ist und das Quadrat beim E auch.
Wie kommt man aber auf den nächsten Schritt nun der wie gefolgt aussieht:
[mm] =e^{2x}(7c_{1}+12c_{0}+12c_{1}x) [/mm] ???
Danke schonmal im Voraus
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Hallo Boki87,
> Aufgabe 1:
> [mm]y''(x)+3y'(x)+2y(x)=6xe^{2x}[/mm]
>
> Aufgabe 2:
> [mm]y'''(x)+3y''(x)-4y(x)=2x^{2}e^{-x}[/mm]
> Es geht bei beiden Aufgaben um die reele Lösung der Dgl.
>
> Den homogenen Teil hab ich kein Problem zu lösen, nur bei
> der Partikulärlösung.
>
> Als aller erstes, wieso benutze ich bei der ersten den
> Ansatz mit [mm]q(x)=c_{0}+c_{1}x[/mm] und bei der zweiten den Ansatz
> mit [mm]q(x)=c_{2}x^{2}+c_{1}x+c_{0}?[/mm] Liegt es daran, dass ich
> bei der ersten Aufgabe rechts nur ein x stehen habe aber
> bei der zweiten ein [mm]x^{2}?[/mm]
Genau so ist es.
Der Ansatz ist dann bei Aufgabe: [mm]y_{p}\left(x\right)=\left(c_{0}+c_{1}x\right)*e^{2x}[/mm]
Bei der zweiten:
[mm]y_{p}\left(x\right)=\left(c_{0}+c_{1}x+c_{2}*x^{2}\right)*e^{-x}[/mm]
>
> Und nun noch meine andere Frage bei der Aufgabe 1, ich habe
> das char.Pol aufgestellt und die homogene Lsg berechent.
> Nun geht um die Partikulärlösung, aus [mm]\lambda_{1}=-2[/mm] und
> [mm]\lambda_{2}=-1[/mm] folgt der Ansatz [mm](D+2E)(D+E)y(x)=6xe^{2x}[/mm]
>
> Nun kommt der nächste Schritt
> [mm]y_{p}(x)=(c_{0}+c_{1}x)e^{2x}[/mm] und daraus folgt
> [mm](D+2E)(D+E)((c_{0}+c_{1}x)e^{2x})[/mm]
> [mm]=e^{2x}(D+4E)(D+3E)(c_{0}+c_{1}x)[/mm]
> [mm]=e^{2x}(D^{2}+7D+12E)(c_{0}+c_{1}x)[/mm]
> Soweit ist mir alles klar, beim DE kann man das E
> weglassen da es eine Einheitsabbildung ist und das Quadrat
> beim E auch.
>
> Wie kommt man aber auf den nächsten Schritt nun der wie
> gefolgt aussieht:
>
> [mm]=e^{2x}(7c_{1}+12c_{0}+12c_{1}x)[/mm] ???
>
Beachte hier daß
[mm]D\left(c_{0}+c_{1}x\right)=\bruch{d}{dx}\left(c_{0}+c_{1}x\right)[/mm]
Dann kommst Du auch darauf.
>
> Danke schonmal im Voraus
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:37 Di 16.12.2008 | | Autor: | Boki87 |
Irgendwie wird mir der Zusammenhang immernoch nicht klar, ich komme so weit, dass sich die Lösung irgendwie aus [mm] y_{p}(x)+y_{p}'(x) [/mm] zusammensetzt, aber mir fehlt immernoch der Zusammenhang und das Verständnis.
Gruß
Boki87
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Hallo Boki87,
> Irgendwie wird mir der Zusammenhang immernoch nicht klar,
> ich komme so weit, dass sich die Lösung irgendwie aus
> [mm]y_{p}(x)+y_{p}'(x)[/mm] zusammensetzt, aber mir fehlt immernoch
> der Zusammenhang und das Verständnis.
>
Nun die Lösung einer inhomogenen Differentialgleichung setzt sich aus der
Lösung der homogenen Differentialgleichung und der Partikulärlösung zusammen.
Je nach Art der Differentialgleichung wendet man unterschieliche Verfahren an, um an die Lösung zu kommen. Solche Verfahren sind z.B. ![[]](/images/popup.gif) Trennung der Veränderlichen, Variation der Konstanten.
Bei letzterem Verfahren benötigt man zur Gewinnung der Partikularlösung
die Lösung der homogenen Differentialgleichung.
>
> Gruß
> Boki87
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:20 Di 16.12.2008 | | Autor: | Boki87 |
Mhh ich glaub du hast meine zweite Frage nicht richtig verstanden, mir ist soweit klar mit den Verfahren. Es geht mir nur darum was genau vom vorletzten auf den letzten Schritt gemacht wird?
Also wie man von [mm] e^{2x}(D^{2}+7D+12E)(c_{0}+c_{1}x) [/mm] auf [mm] e^{2x}(7c_{1}+12c_{0}+12c_{1}x) [/mm] kommt.
Danke schön :)
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Hallo Boki87,
> Mhh ich glaub du hast meine zweite Frage nicht richtig
> verstanden, mir ist soweit klar mit den Verfahren. Es geht
> mir nur darum was genau vom vorletzten auf den letzten
> Schritt gemacht wird?
> Also wie man von [mm]e^{2x}(D^{2}+7D+12E)(c_{0}+c_{1}x)[/mm] auf
> [mm]e^{2x}(7c_{1}+12c_{0}+12c_{1}x)[/mm] kommt.
Es ist
[mm]D\left(c_{0}+c_{1}x\right)=\bruch{d}{dx}\left(c_{0}+c_{1}*x\right)[/mm]
[mm]D^{2}\left(c_{0}+c_{1}x\right)=\bruch{d^{2}}{dx^{2}}\left(c_{0}+c_{1}*x\right)=\bruch{d}{dx}\left( \ \bruch{d}{dx}\left(c_{0}+c_{1}*x\right) \ \right)[/mm]
Hierbei ist D der Differentialoperator
Ausgeschrieben ist obiges:
[mm](D^{2}+7D+12E)(c_{0}+c_{1}x) = D^{2}\left(c_{0}+c_{1}x\right)+7D\left(c_{0}+c_{1}x\right)+12*E\left(c_{0}+c_{1}x\right)[/mm]
Nun ist
[mm]D^{2}\left(c_{0}+c_{1}x\right)=0[/mm]
[mm]D\left(c_{0}+c_{1}x\right)=c_{1}[/mm]
[mm]E\left(c_{0}+c_{1}x\right)=c_{0}+c_{1}x[/mm]
Einsetzen liefert:
[mm](D^{2}+7D+12E)(c_{0}+c_{1}x) = D^{2}\left(c_{0}+c_{1}x\right)+7D\left(c_{0}+c_{1}x\right)+12*E\left(c_{0}+c_{1}x\right)[/mm]
[mm]=0+7*c_{1}+12*\left(c_{0}+c_{1}x\right)=7*c_{1}+12*c_{0}+12*c_{1}x[/mm]
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> Danke schön :)
>
Gruß
MathePower
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