Partielle Intg im höher dim. < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:23 Fr 04.01.2013 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Partielle Integration
f [mm] \in C^1 (\IR^n) [/mm] (stetig differenzierbare Funktion ), v [mm] \in C^1_c (\IR^n)^n [/mm] (stetig differenzierbares Vektorfeld mit kompakten Träger)
ZZ.: [mm] \int_{\IR^n} [/mm] f(x) div v (x) dx = - [mm] \int_{\IR^n} [/mm] v(x).div f(x) dx |
Beweis im Skriptum:
[mm] \int_{\IR^n} [/mm] f(x) div v(x) dx = [mm] \int_{a_n}^{b_n}... \int_{a_1}^{b_1} \sum_{j=1}^n [/mm] f(x) [mm] \partial_{x_j} v_j [/mm] (x) d [mm] x_1 [/mm] ... [mm] dx_n=\sum_{j=1}^n \int_{a_n}^{b_n}...\int_{a_{j-1}}^{b_{j-1}}\int_{a_{j+1}}^{b_{j+1}}... \int_{a_1}^{b_1} [/mm] [ [mm] \int_{a_j}^{b_j} [/mm] f(x) [mm] \partial_{ x_j} v_j [/mm] (x) d [mm] x_j] dx_1... dx_n [/mm] = - [mm] \sum_{j=1}^n \int_{a_n}^{b_n}...\int_{a_{j-1}}^{b_{j-1}}\int_{a_{j+1}}^{b_{j+1}}... \int_{a_1}^{b_1} [/mm] [ [mm] \int_{a_j}^{b_j} v_j [/mm] (x) [mm] \partial_{x_j} [/mm] f(x)d [mm] x_j] dx_1... dx_n
[/mm]
= - [mm] \int_{\IR^n} [/mm] v(x). div f(x) dx
Q [mm] \supseteq \bigcup_{j=1}^{n} supp(v_j)
[/mm]
Ich verstehe den vorletzen schritt nicht. Hier wird doch die partielle integration im 1.dim betrieben oder? Warum sind die Randdterme 0, (hat bestimmt mit träger zu tun, sehe aber nicht ganz wie)
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:37 Fr 04.01.2013 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
brauchst> Partielle Integration
> f [mm]\in C^1 (\IR^n)[/mm] (stetig differenzierbare Funktion ), v
> [mm]\in C^1_c (\IR^n)^n[/mm] (stetig differenzierbares Vektorfeld
> mit kompakten Träger)
> ZZ.: [mm]\int_{\IR^n}[/mm] f(x) div v (x) dx = - [mm]\int_{\IR^n}[/mm]
> v(x).div f(x) dx
> Beweis im Skriptum:
>
> [mm]\int_{\IR^n}[/mm] f(x) div v(x) dx = [mm]\int_{a_n}^{b_n}... \int_{a_1}^{b_1} \sum_{j=1}^n[/mm]
> f(x) [mm]\partial_{x_j} v_j[/mm] (x) d [mm]x_1[/mm] ... [mm]dx_n=\sum_{j=1}^n \int_{a_n}^{b_n}...\int_{a_{j-1}}^{b_{j-1}}\int_{a_{j+1}}^{b_{j+1}}... \int_{a_1}^{b_1}[/mm]
> [ [mm]\int_{a_j}^{b_j}[/mm] f(x) [mm]\partial_{ x_j} v_j[/mm] (x) d [mm]x_j] dx_1... dx_n[/mm]
> = - [mm]\sum_{j=1}^n \int_{a_n}^{b_n}...\int_{a_{j-1}}^{b_{j-1}}\int_{a_{j+1}}^{b_{j+1}}... \int_{a_1}^{b_1}[/mm]
> [ [mm]\int_{a_j}^{b_j} v_j[/mm] (x) [mm]\partial_{x_j}[/mm] f(x)d [mm]x_j] dx_1... dx_n[/mm]
>
> = - [mm]\int_{\IR^n}[/mm] v(x). div f(x) dx
>
> Q [mm]\supseteq \bigcup_{j=1}^{n} supp(v_j)[/mm]
>
> Ich verstehe den vorletzen schritt nicht. Hier wird doch
> die partielle integration im 1.dim betrieben oder? Warum
> sind die Randdterme 0, (hat bestimmt mit träger zu tun,
> sehe aber nicht ganz wie)
Das ist ein bischen schlampig aufgeschrieben. Man nimmt sich einen Quader Q, der den Träger komplett enthält, und der so groß ist, dass v auf dem Rand des Quaders 0 ist. Deswegen fallen die Randterme alle weg.
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
|
