Partielle Differenzierbarkeit < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | [mm] $$f(x,y)=\begin{cases} \bruch{x^2y^2}{x^2+y^2}, & \mbox{für } (x,y)\not=(0,0) \\ 0, & \mbox{für } (x,y)=(0,0) \end{cases}$$ [/mm] |
Hallo und guten Abend :)
Ich sitze hier grad einem sehr schönen Thema bei dem ich leider nicht weiterkomme.
Ich denke ich habe soweit alles Verstanden was mit dem Thema Differenzierbarkeit von Funktionen mehrer Variablen zu tun hat und ich für die Klausur brauche.
Jetzt aber zu meiner Frage:
Ich habe folgende Funktion
[mm] $$f(x,y)=\begin{cases} \bruch{x^2y^2}{x^2+y^2}, & \mbox{für } (x,y)\not=(0,0) \\ 0, & \mbox{für } (x,y)=(0,0) \end{cases}$$
[/mm]
Jetzt sagen die in dem Buch in dem ich gerade lese, dass $f$ in $(0,0)$ partiell diffbar ist, wenn gilt:
$$gradf(0,0)=(0,0)$$
Warum ist das so?
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Hallo,
> [mm]f(x,y)=\begin{cases} \bruch{x^2y^2}{x^2+y^2}, & \mbox{für } (x,y)\not=(0,0) \\ 0, & \mbox{für } (x,y)=(0,0) \end{cases}[/mm]
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> Hallo und guten Abend :)
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> Ich sitze hier grad einem sehr schönen Thema bei dem ich
> leider nicht weiterkomme.
> Ich denke ich habe soweit alles Verstanden was mit dem
> Thema Differenzierbarkeit von Funktionen mehrer Variablen
> zu tun hat und ich für die Klausur brauche.
> Jetzt aber zu meiner Frage:
> Ich habe folgende Funktion
> [mm]f(x,y)=\begin{cases} \bruch{x^2y^2}{x^2+y^2}, & \mbox{für } (x,y)\not=(0,0) \\ 0, & \mbox{für } (x,y)=(0,0) \end{cases}[/mm]
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> Jetzt sagen die in dem Buch in dem ich gerade lese, dass [mm]f[/mm]
> in [mm](0,0)[/mm] partiell diffbar ist, wenn gilt:
> [mm]gradf(0,0)=(0,0)[/mm]
>
> Warum ist das so?
Überlege es dir anhand des Beispiels. Was sagt denn der Gradient aus? Und was bedeutet es dass (grad f(0,0)) = (0,0).
Hinweis: Ganz allgemein sei vorsichtig mit dem grad. Aus der Existenz von grad f folgt werder die Stetigkeit noch die Existenz aller Richtungsableitungen von f.
Ich würde vorschlagen dass du mal diese Funktion auf Diffbarkeit überprüfst und hier postest - ich bin sicher dass sich dann alle Unklarheiten (wer weiß ob sich eventuell noch andere aufwerfen) klären lassen.
Gruß
Thomas
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:36 Di 02.07.2013 | | Autor: | fred97 |
> [mm]f(x,y)=\begin{cases} \bruch{x^2y^2}{x^2+y^2}, & \mbox{für } (x,y)\not=(0,0) \\ 0, & \mbox{für } (x,y)=(0,0) \end{cases}[/mm]
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> Hallo und guten Abend :)
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> Ich sitze hier grad einem sehr schönen Thema bei dem ich
> leider nicht weiterkomme.
> Ich denke ich habe soweit alles Verstanden was mit dem
> Thema Differenzierbarkeit von Funktionen mehrer Variablen
> zu tun hat und ich für die Klausur brauche.
> Jetzt aber zu meiner Frage:
> Ich habe folgende Funktion
> [mm]f(x,y)=\begin{cases} \bruch{x^2y^2}{x^2+y^2}, & \mbox{für } (x,y)\not=(0,0) \\ 0, & \mbox{für } (x,y)=(0,0) \end{cases}[/mm]
>
> Jetzt sagen die in dem Buch in dem ich gerade lese, dass [mm]f[/mm]
> in [mm](0,0)[/mm] partiell diffbar ist, wenn gilt:
> [mm]gradf(0,0)=(0,0)[/mm]
Das ist völliger Blödsinn ! Mehr gibts dazu nicht zu sagen.
FRED
>
> Warum ist das so?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:36 Di 02.07.2013 | | Autor: | Thomas_Aut |
> > [mm]f(x,y)=\begin{cases} \bruch{x^2y^2}{x^2+y^2}, & \mbox{für } (x,y)\not=(0,0) \\ 0, & \mbox{für } (x,y)=(0,0) \end{cases}[/mm]
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> > Hallo und guten Abend :)
> >
> > Ich sitze hier grad einem sehr schönen Thema bei dem ich
> > leider nicht weiterkomme.
> > Ich denke ich habe soweit alles Verstanden was mit dem
> > Thema Differenzierbarkeit von Funktionen mehrer Variablen
> > zu tun hat und ich für die Klausur brauche.
> > Jetzt aber zu meiner Frage:
> > Ich habe folgende Funktion
> > [mm]f(x,y)=\begin{cases} \bruch{x^2y^2}{x^2+y^2}, & \mbox{für } (x,y)\not=(0,0) \\ 0, & \mbox{für } (x,y)=(0,0) \end{cases}[/mm]
>
> >
> > Jetzt sagen die in dem Buch in dem ich gerade lese, dass [mm]f[/mm]
> > in [mm](0,0)[/mm] partiell diffbar ist, wenn gilt:
> > [mm]gradf(0,0)=(0,0)[/mm]
>
>
> Das ist völliger Blödsinn ! Mehr gibts dazu nicht zu
> sagen.
>
> FRED
> >
Ich wollte ihn doch langsam zu dieser Erkenntnis führen :)
Gruß
Thomas
> > Warum ist das so?
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Mhm ok...
Ja dann hab ich das wohl falsch verstanden...
http://s7.directupload.net/file/d/3305/lbz4hga7_png.htm
Ich hoffe ich mache hier jetzt nichts unerlaubtes wenn ich ein Link hier zu einem Bild poste.
Dass ist die Aufgabe mit der Lösung.
Soweit ich das verstanden habe sagen die, dass die Funktion im Punkt (0,0) partiell differenzierbar ist weil der Gradient von f(0,0) gleich (0,0) ist, weil der Limes (x,0)->(0,0) von der partiellen Ableitung von f nach x gleich 0 ist.
Und das natürlich mit [mm] $f_y$ [/mm] auch.
Aber warum ist dass so?
Warum ist sie dadurch partiell diffbar?
Heist dass, wenn ich die partielle diffbarkeit in einem Punkt prüfen will, den Limes beider partiellen Ableitungen (oder richtungsableitungen) betrachten muss und wenn der jeweils übereinstimmt ist die Funktion in dem Punkt partiell diffbar?
Tut mir leid dass ich hier nicht das Formelsystem benutze, dauert mir viel zu lange das alles so richtig zu schrieben ;)
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Hallo,
> Mhm ok...
> Ja dann hab ich das wohl falsch verstanden...
> http://s7.directupload.net/file/d/3305/lbz4hga7_png.htm
> Ich hoffe ich mache hier jetzt nichts unerlaubtes wenn ich
> ein Link hier zu einem Bild poste.
> Dass ist die Aufgabe mit der Lösung.
> Soweit ich das verstanden habe sagen die, dass die
> Funktion im Punkt (0,0) partiell differenzierbar ist weil
> der Gradient von f(0,0) gleich (0,0) ist, weil der Limes
> (x,0)->(0,0) von der partiellen Ableitung von f nach x
> gleich 0 ist.
> Und das natürlich mit [mm]f_y[/mm] auch.
> Aber warum ist dass so?
> Warum ist sie dadurch partiell diffbar?
> Heist dass, wenn ich die partielle diffbarkeit in einem
> Punkt prüfen will, den Limes beider partiellen Ableitungen
> (oder richtungsableitungen) betrachten muss und wenn der
> jeweils übereinstimmt ist die Funktion in dem Punkt
> partiell diffbar?
> Tut mir leid dass ich hier nicht das Formelsystem benutze,
> dauert mir viel zu lange das alles so richtig zu schrieben
> ;)
Eine Funktion ist in einem Punkt a partiell diffbar wenn alle partiellen Ableitungen an diesem Punkt existieren.
Diese ist definiert als [mm] $\frac{\partial{}f}{\partial{}x_i}(a)=\limes_{h\rightarrow0}\frac{f(a_{1},...,a_{i-1},a_{i}+h,a_{i+1},...,a_{n})-f(a)}{h}$.
[/mm]
Also wäre die partielle Ableitung nach x in (0,0): [mm] $\frac{\partial{}f}{\partial{}x}(0,0)=\limes_{h\rightarrow0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}=\limes_{h\rightarrow0}\frac{0}{h}=0$. [/mm] Da der Grenzwert existiert, existiert auch die partielle Ableitung nach x. Analog geht das mit [mm] \frac{\partial{}f}{\partial{}y}.
[/mm]
Warum die Funktion in (0,0) partiell diffbar sein soll nur weil der gradf(0,0)=(0,0) ist mir auch nicht klar.
Gruß helicopter
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:59 Mi 03.07.2013 | | Autor: | Richie1401 |
> Hallo,
>
> > Mhm ok...
> > Ja dann hab ich das wohl falsch verstanden...
> >
> http://s7.directupload.net/file/d/3305/lbz4hga7_png.htm
> > Ich hoffe ich mache hier jetzt nichts unerlaubtes wenn
> ich
> > ein Link hier zu einem Bild poste.
> > Dass ist die Aufgabe mit der Lösung.
> > Soweit ich das verstanden habe sagen die, dass die
> > Funktion im Punkt (0,0) partiell differenzierbar ist weil
> > der Gradient von f(0,0) gleich (0,0) ist, weil der Limes
> > (x,0)->(0,0) von der partiellen Ableitung von f nach x
> > gleich 0 ist.
> > Und das natürlich mit [mm]f_y[/mm] auch.
> > Aber warum ist dass so?
> > Warum ist sie dadurch partiell diffbar?
> > Heist dass, wenn ich die partielle diffbarkeit in einem
> > Punkt prüfen will, den Limes beider partiellen Ableitungen
> > (oder richtungsableitungen) betrachten muss und wenn der
> > jeweils übereinstimmt ist die Funktion in dem Punkt
> > partiell diffbar?
> > Tut mir leid dass ich hier nicht das Formelsystem
> benutze,
> > dauert mir viel zu lange das alles so richtig zu schrieben
> > ;)
>
> Eine Funktion ist in einem Punkt a partiell diffbar wenn
> alle partiellen Ableitungen an diesem Punkt existieren.
> Diese ist definiert als
> [mm]\frac{\partial{}f}{\partial{}x_i}(a)=\limes_{h\rightarrow0}\frac{f(a_{1},...,a_{i-1},a_{i}+h,a_{i+1},...,a_{n})-f(a)}{h}[/mm].
> Also wäre die partielle Ableitung nach x in (0,0):
> [mm]\frac{\partial{}f}{\partial{}x}(0,0)=\limes_{h\rightarrow0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}=\limes_{h\rightarrow0}\frac{0}{h}=0[/mm].
> Da der Grenzwert existiert, existiert auch die partielle
> Ableitung nach x. Analog geht das mit
> [mm]\frac{\partial{}f}{\partial{}y}.[/mm]
>
> Warum die Funktion in (0,0) partiell diffbar sein soll nur
> weil der gradf(0,0)=(0,0) ist mir auch nicht klar.
Die Antwort hast du dir doch eigentlich schon gegeben...
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> Gruß helicopter
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