Partielle Ableitungen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:45 Mo 27.10.2008 | | Autor: | Zweiti |
| Aufgabe | Die Funktion [mm] f:\IR\to\IR^{2} [/mm] sei durch f(x,y):= [mm] e^{x-y}+(x-y)^{4}\sin\bruch{1}{x-y} [/mm] wenn [mm] x\not=y; [/mm] 1 wenn x=y gegeben.
Zeige, dass die Ableitungen [mm] f_{x}(0,0) [/mm] und [mm] f_{xy}(0,0) [/mm] existieren und berechne ihre Werte. |
Hallo,
den ersten Teil der Aufgabe habe ich gelöst mit Hilfe des Differenzenquotienten und habe dann 1 für die Ableitung raus. Genauso wollte ich dass dann auch beim zweiten Machen aber komme nicht weiter.
Habe also erstmal [mm] f_{x} [/mm] berechnet, das ist: [mm] e^{x-y}+4(x-y)^{3}\*sin\bruch{1}{x-y}-(x-y)^{2}\*cos\bruch{1}{x-y}, [/mm] dann hab ich wieder den Differenzenquotienten gebildet, dh. [mm] \limes_{h\rightarrow 0}\bruch{f(0,h)-f(0,0)}{h}, [/mm] das ist bei mir: [mm] \limes_{h\rightarrow 0}\bruch{e^{-h}+4sin(\bruch{1}{h})h^{3}-cos(\bruch{1}{h})h^{2}-1}{h}, [/mm] davon hab ich versucht mit Hilfe von L'Hospital den Grenzwert zu bestimmen, hab es aber leider nicht hinbekommen.
Wäre für Hilfe dankbar
Zweiti
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:54 Mo 27.10.2008 | | Autor: | fred97 |
> Die Funktion [mm]f:\IR\to\IR^{2}[/mm] sei durch f(x,y):=
> [mm]e^{x-y}+(x-y)^{4}\sin\bruch{1}{x-y}[/mm] wenn [mm]x\not=y;[/mm] 1 wenn
> x=y gegeben.
> Zeige, dass die Ableitungen [mm]f_{x}(0,0)[/mm] und [mm]f_{xy}(0,0)[/mm]
> existieren und berechne ihre Werte.
> Hallo,
> den ersten Teil der Aufgabe habe ich gelöst mit Hilfe des
> Differenzenquotienten und habe dann 1 für die Ableitung
> raus. Genauso wollte ich dass dann auch beim zweiten Machen
> aber komme nicht weiter.
>
> Habe also erstmal [mm]f_{x}[/mm] berechnet, das ist:
> [mm]e^{x-y}+4(x-y)^{3}\*sin\bruch{1}{x-y}-(x-y)^{2}\*cos\bruch{1}{x-y},[/mm]
> dann hab ich wieder den Differenzenquotienten gebildet, dh.
> [mm]\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{f(0,h)-f(0,0)}{h},[/mm] das ist
> bei mir: [mm]\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{e^{-h}+4sin(\bruch{1}{h})h^{3}-cos(\bruch{1}{h})h^{2}-1}{h},[/mm]
> davon hab ich versucht mit Hilfe von L'Hospital den
> Grenzwert zu bestimmen, hab es aber leider nicht
> hinbekommen.
Das hat man davon, wenn man die "Holzhammer-Methode" L'Hospital bemüht!
[mm] \bruch{e^{-h}+4sin(\bruch{1}{h})h^{3}-cos(\bruch{1}{h})h^{2}-1}{h} [/mm] =
[mm] \bruch{e^{-h}-1}{h} [/mm] + [mm] 4sin(1/h)h^2+cos(1/h)h
[/mm]
der 1. Summand strebt gegen -1 und die beiden weiteren Summanden jeweils gegn 0
FRED
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