Partialsumme aller Kehrwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:54 Sa 19.08.2006 | | Autor: | TopHat |
| Aufgabe | | Berechnen Sie den Grenzwert der Partialsumme aller positiven Kehrwerte. |
Hi, also ich weiß, das [mm] \bruch{1}{n}>\bruch{1}{n+1} [/mm] und [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{n}> [/mm] = 0. Also müsste [mm] \summe_{i=1}^{n} [/mm] für n gegen positiv unendlich gegen einen Grenzwert laufen. Nun habe ich aber keine Idee, wie man rechnerisch auf einen solchen Wert kommt.
Wenn man jetzt beispielsweise n = 4 die Kehrwerte addiert, also
[mm] \bruch{1}{1}+\bruch{1}{2}+\bruch{1}{3}+\bruch{1}{4}, [/mm] so erhält man als Ergebnis
[mm] \bruch{2*3*4 + 1*3*4 + 1*2*4 + 1*2*3}{4!}. [/mm] Nun lässt sich der Nenner ja schön als Funktion f(n)=n! darstellen (aufgrund des Gleichnamigmachens), aber ich erkenne nicht, nach welcher Funktion sich der Zähler (in Abhängigkeit von n) entwickelt.
Ich wäre sehr dankbar, wenn mir jemand die Zählerfunktion erklären könnte, weil ich einfach nicht dahinter komme.
Vielen Dank.
TopHat
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