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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:12 Sa 08.04.2006 | | Autor: | Blacky |
| Aufgabe | | [mm] \integral_{5}^{6}{\bruch{x-5}{x^2-2x-8} dx} [/mm] |
Gutentag,
ich weiß, dass man diese Aufgabe sehr leicht per Partialbruchzerlegung lösen kann. Nun frage ich mich aber ob es auch geht, wenn man versucht die Ableitung des Nenners in den Zähler zu holen:
----
[mm] \bruch{1}{2} \integral_{5}^{6}{\bruch{2x-10}{x^2-2x-8} dx}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{2} \integral_{5}^{6}{\bruch{2x-2}{x^2-2x-8}-\bruch{8}{x^2-2x-8} dx}
[/mm]
------
So, den ersten Teil kann man bequem mit dem ln integrieren: [mm] ln|x^2-2x-8|
[/mm]
Nun aber zum zweiten Teil, ist es hier irgendwie möglich das mit dem arctan hinzukriegen?:
[mm] -\bruch{1}{2} \integral_{5}^{6}{8\bruch{1}{(x-1)^2-9} dx}
[/mm]
Beim nächsten Schritt müsste man dann ja die -9 ausklammern um "ein +1 zu gewinnen", danach dann noch die innere Ableitung des quadratischen Ausdrucks in den Zähler bringen. Bei diesen Schritten bin ich mir aber sehr unsicher, was das Rechnerische anbelangt.
Also nochmal die Frage: Kann man über diesen Weg zur Lösung kommen?
mfg blacky
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Hi, Blacky,
> [mm]\integral_{5}^{6}{\bruch{x-5}{x^2-2x-8} dx}[/mm]
> Gutentag,
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> ich weiß, dass man diese Aufgabe sehr leicht per
> Partialbruchzerlegung lösen kann. Nun frage ich mich aber
> ob es auch geht, wenn man versucht die Ableitung des
> Nenners in den Zähler zu holen:
> ----
> [mm]\bruch{1}{2} \integral_{5}^{6}{\bruch{2x-10}{x^2-2x-8} dx}[/mm]
>
> [mm]\bruch{1}{2} \integral_{5}^{6}{\bruch{2x-2}{x^2-2x-8}-\bruch{8}{x^2-2x-8} dx}[/mm]
>
> ------
> So, den ersten Teil kann man bequem mit dem ln
> integrieren: [mm]ln|x^2-2x-8|[/mm]
> Nun aber zum zweiten Teil, ist es hier irgendwie möglich
> das mit dem arctan hinzukriegen?:
>
> [mm]-\bruch{1}{2} \integral_{5}^{6}{8\bruch{1}{(x-1)^2-9} dx}[/mm]
Das ergibt nicht den Arcustangens! Hierzu müsste das Integral die Form
[mm] \integral{\bruch{1}{x^{2}\red{+}a^{2}}dx} [/mm] haben,
bei Dir aber ist's ja von der Form:
[mm] \integral{\bruch{1}{x^{2}\red{-}a^{2}}dx} [/mm]
und dieses wiederum hat als Ergebnis:
[mm] -\bruch{1}{2a}*ln|\bruch{a+x}{a-x}| [/mm] + c,
was Du über eine Partialbruchzerlegung herleiten könntest!
> Also nochmal die Frage: Kann man über diesen Weg zur Lösung
> kommen?
Sicher! Nur kannst Du - wie Du siehst - die PBZ nicht wirklich umgehen; Du schiebst sie nur etwas auf!
mfG!
Zwerglein
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:20 So 09.04.2006 | | Autor: | Blacky |
okay, danke sehr :)
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