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Partialbruchzerlegung: Formel
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 19:29 Mi 15.06.2005
Autor: necorius

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Einen schönen Abend Miteinander,

habe folgendes Problem bei einer Aufgabe
[mm] \integral_{a}^{b} {(x+1)/(x(x-1)(x^2+x+1)) dx} [/mm]

Mein Ansatz
f(x) = (C/x) + (D/(x-1)) + [mm] (E/(x^2+x+1)) [/mm]

Ich weiß, das E falsch ist, waber was kommt hin (Ax + B) ?

Denn bei meiner Rechnung kamen für C = -1 und D = 2/3
und für E = -1/3 <--- ist aber falsch
Wo liegt mein Fehler....

Als Lösungsansatz ist f(x)= - 1/x + 2/(3(x-1)) + [mm] (x-1)/(3(x^2+x+1)) [/mm]
Auf den letzten Term komme ich nicht!

F(x)= -ln(x) + 2/3*ln(x-1) + ...

Fallsmit jemand Helfen kann, wäre es super :)
Danke Gruß Necko
        
Bezug
Partialbruchzerlegung: Deine Vermutung stimmt ...
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:41 Mi 15.06.2005
Autor: Loddar

Hallo Necko,

[willkommenmr] !!



Du hast Dir die richtige Antwort ja bereits selber gegeben ...


> [mm]\integral_{a}^{b} {(x+1)/(x(x-1)(x^2+x+1)) dx}[/mm]
>  
> Mein Ansatz
> f(x) = (C/x) + (D/(x-1)) + [mm](E/(x^2+x+1))[/mm]
>  
> Ich weiß, das E falsch ist, aber was kommt hin (Ax + B) ?

[daumenhoch] Genauso geht's ...

Da beim letzten Bruch ein quadratisches Polynom auftritt, muß im Zähler auch ein Polynom erscheinen, das im Grad um 1 reduziert ist.


Kommst Du nun mit dem Ansatz

$f(x) \ = \ [mm] \bruch{C}{x} [/mm] + [mm] \bruch{D}{x-1} [/mm] + [mm] \bruch{\red{A*x+B}}{x^2+x+1}$
[/mm]

auf die richtige Lösung? (Ich war jetzt zu faul zum Nachrechnen. [peinlich] )


Gruß
Loddar

Bezug
        
Bezug
Partialbruchzerlegung: Koeffizienten
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:37 Fr 17.06.2005
Autor: necorius

Irgendwie bekomme ich Kopfschmerzen.

... aus [mm] x+1=D*(x-1)*(x^2+x+1)+B*x*(x^2+x+1)+(A*x+B)*x*(x-1) [/mm]

bekomme ich für D=-1 wenn ich x gegen 0 streben lasse
und für E=2/3 wenn ich x gegen 1 streben lassse.
Aber wie bekomme ich jetzt A und B heraus???




Bezug
                
Bezug
Partialbruchzerlegung: durcheinander
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:08 Fr 17.06.2005
Autor: leduart

Hallo, die Buchstaben in deiner Gl sind wohl was durcheinander geraten. Lies deine postings doch noch mal durch, wenn du sie abgeschickt hast!
Aber man bestimmt A,B,C,D, durch Koeffizientenvergleich :alles was bei [mm] x^{3} [/mm] stehtzusammen =0 ebenso bei [mm] x^{2} [/mm] bei x: summe =1 beim absoluten Glied 1. Dazu muss kein armes x irgendwohin gehen!, denn es muss für ALLE x richtig sein. (deshalb darfst du natürlich auch das x irgendwohin spazieren lassen, und die Gleichung muss richtig sein!!
Gruss leduart
Bezug
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