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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:47 Fr 10.12.2010 | | Autor: | stffn |
| Aufgabe | | [mm] \bruch{8x+4}{x^2(x+2)^2} [/mm] soll partiell zerlegt werden. |
Guten Abend!!
Also ich habe die Aufgabe schon durchgerechnet, bin mir aber nicht sicher ob ich das richtig gemacht habe, und falls ja, ob das formal auch richtig ist und ob ich einen günstigen Weg gewählt habe, oder ob es vielleicht auch Methoden gibt, die das Ganze etwas geordneter machen.
Also der Nenner hat ja jeweils eine doppelte NS bei 0 und -2, richtig?
[mm] \rightarrow \bruch{8x+4}{x^2(x+2)^2}=\bruch{A}{(x+2)}+\bruch{B}{(x+2)^2}+\bruch{C}{x}+\bruch{D}{x^2}
[/mm]
[mm] \rightarrow 8x+4=A(x+2)x^2+Bx^2+C(x+2)^2x+D(x+2)^2
[/mm]
Jetzt habe ich da erstmal die NS eingesetzt:
Für x=0:
4=4D [mm] \gdw [/mm] D=1
Für x=-2:
-12=4B [mm] \gdw [/mm] B=-3.
Jetzt habe ich mit KVGL weitergemacht, dazu musste erstmal eine Umformung her:
[mm] 8x+4=A(x+2)x^2+Bx^2+C(x+2)^2x+D(x+2)^2
[/mm]
[mm] \gdw 8x+4=(A)x^3+(2A+B+C+D)x^2+(4C+4D)x+(4C+4D)
[/mm]
[mm] \rightarrow [/mm] A=0, C=2
[mm] \rightarrow [/mm]
[mm] \bruch{8x+4}{x^2(x+2)^2}=\bruch{-3}{(x+2)^2}+\bruch{2}{x}+\bruch{1}{x^2}
[/mm]
Gibt es Verbesserungsvorschläge?
Schönes Wochenende!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:05 Fr 10.12.2010 | | Autor: | abakus |
> [mm]\bruch{8x+4}{x^2(x+2)^2}[/mm] soll partiell zerlegt werden.
> Guten Abend!!
>
> Also ich habe die Aufgabe schon durchgerechnet, bin mir
> aber nicht sicher ob ich das richtig gemacht habe, und
> falls ja, ob das formal auch richtig ist und ob ich einen
> günstigen Weg gewählt habe, oder ob es vielleicht auch
> Methoden gibt, die das Ganze etwas geordneter machen.
>
> Also der Nenner hat ja jeweils eine doppelte NS bei 0 und
> -2, richtig?
>
> [mm]\rightarrow \bruch{8x+4}{x^2(x+2)^2}=\bruch{A}{(x+2)}+\bruch{B}{(x+2)^2}+\bruch{C}{x}+\bruch{D}{x^2}[/mm]
>
> [mm]\rightarrow 8x+4=A(x+2)x^2+Bx^2+C(x+2)^2x+D(x+2)^2[/mm]
Das kannst du GLEICH ausmultiplizieren und den Koeffizientenvergleich machen.
[mm] 8x+4=x^3(A+C)+x^2(2A+B+4C+D)+x(4C+4D)+4D
[/mm]
Daraus folgt A+C=0 (also A=-C; du hast da was anderes)
2A+B+4C+D=0
4(C+D)=8
4D=4.
Daraus folgt in dieser Reihenfolge D=1, C=1, A=-1, B=-3.
Gruß Abakus
>
> Jetzt habe ich da erstmal die NS eingesetzt:
>
> Für x=0:
> 4=4D [mm]\gdw[/mm] D=1
>
> Für x=-2:
> -12=4B [mm]\gdw[/mm] B=-3.
>
> Jetzt habe ich mit KVGL weitergemacht, dazu musste erstmal
> eine Umformung her:
>
> [mm]8x+4=A(x+2)x^2+Bx^2+C(x+2)^2x+D(x+2)^2[/mm]
> [mm]\gdw 8x+4=(A)x^3+(2A+B+C+D)x^2+(4C+4D)x+(4C+4D)[/mm]
>
> [mm]\rightarrow[/mm] A=0, C=2
>
> [mm]\rightarrow[/mm]
>
> [mm]\bruch{8x+4}{x^2(x+2)^2}=\bruch{-3}{(x+2)^2}+\bruch{2}{x}+\bruch{1}{x^2}[/mm]
>
> Gibt es Verbesserungsvorschläge?
> Schönes Wochenende!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:04 Di 14.12.2010 | | Autor: | stffn |
Vielen Dank!
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