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| Aufgabe | Lösen Sie folgende Aufgabe durch Partialbruchzerlegung:
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{x^2-a^2} dx} [/mm] |
Hallo zusammen,
ich habe keinen logischen Ansatz für diese Aufgabe:
Einige Einfälle:
[mm] u=x^2-a^2 [/mm] dx= [mm] \bruch{du}{2x} [/mm]
also [mm] \bruch{1}{u}*2x [/mm] ??? dann könnte ich x nach u umstellen, komme aber auf keinen sinnvollen weg.
Dann gibt es da noch das Grundintegral [mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{1-x^2} dx}= [/mm] 0,5* ln(x+1)-ln(x-1)
Die Lösung ist aber (1 /2 a) . ln ( ( x - a ) - ln(x + a))
Kann mir bitte jemand weiterhelfen?
Vielen Dank
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Hallo marco-san,
> Lösen Sie folgende Aufgabe durch Partialbruchzerlegung:
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> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{1}{x^2-a^2} dx}[/mm]
> Hallo zusammen,
>
> ich habe keinen logischen Ansatz für diese Aufgabe:
>
> Einige Einfälle:
>
> [mm]u=x^2-a^2[/mm] dx= [mm]\bruch{du}{2x}[/mm]
> also [mm]\bruch{1}{u}*2x[/mm] ??? dann könnte ich x nach u
> umstellen, komme aber auf keinen sinnvollen weg.
>
> Dann gibt es da noch das Grundintegral
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{1}{1-x^2} dx}=[/mm] 0,5* ln(x+1)-ln(x-1)
>
> Die Lösung ist aber (1 /2 a) . ln ( ( x - a ) - ln(x +
> a))
>
> Kann mir bitte jemand weiterhelfen?
Wieso machst du keine Partialbruchzerlegung?
Das steht doch im Hinweis ..
Ansatz: [mm] $\frac{1}{x^2-a^2}=\frac{1}{(x-a)(x+a)}=\frac{A}{x-a}+\frac{B}{x+a}$
[/mm]
Nun mache rechterhand gleichnamig, dann nach Potenzen von x sortieren und einen Koeffizientenvergleich mit der linken Seite machen, um A,B auszurechnen.
Beachte [mm] $\frac{1}{x^2-a^2}=\frac{\red{0}\cdot{}x+\blue{1}}{x^2-a^2}$
[/mm]
>
> Vielen Dank
Gruß
schachuzipus
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Hallo Schachzipus,
also ich habe das auch schon probiert,
kommer aber nach diesem Schritt nicht mehr weiter.
[mm] \bruch{A(x+a+B(x+a)}{x^2-a^2}
[/mm]
Koeffizientenvergleich? Haben wir so noch nie gemacht. Es muss anders lösbar sein.
[mm] \bruch{1}{x^2-a^2}=\bruch{A(x+a+B(x+a)}{x^2-a^2}
[/mm]
Kann mir bitte jemand weiterhelfen?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:25 Sa 10.07.2010 | | Autor: | Infinit |
Hallo marco-san,
da hast Du die Gleichung von Schachuzipus falsch abgeschrieben.
Durch Koeffizientenvergleich sollst Du die Koeffizienten A und B aus der Gleichung
$$ [mm] \bruch{1}{x^2 - a^2} [/mm] = [mm] \bruch{A}{x+a} [/mm] + [mm] \bruch{B}{x-a} [/mm] $$ lösen.
Der Nenner ist gleich, im Zähler musst Du nun die rechte Seite der Gleichung ausmultiplizieren (Hauptnenner bilden) und dann einen Koeffzientenvergleich nach den Potenzen von x machen.
Aus dem Zähler ergibt sich
$$ 1 = Ax - Aa + Bx + Ba $$
Ein Vergleich mit der linken Seite der Gleichung liefert Dir zwei Gleichungen:
$$ 1 = -Aa + Ba $$ und
$$ 0 = A + B $$
Hieraus bekommst Du die beiden Zähler A und B.
Viele Grüße,
Infinit
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:29 Sa 10.07.2010 | | Autor: | Marcel |
Nur ein ergänzender Satz:
> [mm]1 = -Aa + Ba[/mm] und
> [mm]0 = A + B[/mm]
> Hieraus bekommst Du die beiden Zähler A und B.
Welche natürlich in Abhängigkeit von [mm] $a\,$ [/mm] angegeben werden dürfen (man hat [mm] $a\,$ [/mm] als eine beliebige, einmal gewählte und dann festgehaltene Zahl zu betrachten, d.h. [mm] $a\,$ [/mm] ist ein Parameter).
Bei festgehaltenem [mm] $a\,$ [/mm] hat man also zwei Gleichungen in den Unbekannten [mm] $A\,$ [/mm] und [mm] $B\,.$
[/mm]
Beste Grüße,
Marcel
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Ich schnall den Koeffizientenvergleich nicht. Unser Mathegenie (Lehrer) meinte, es müsse mit den Mitteln lösbar sein die wir bis anhin gelernt haben.
Koeffizientenvergleich habe ich noch nie gehört oder evtl. überhört.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:15 Sa 10.07.2010 | | Autor: | Infinit |
Hallo,
dier ganze Idee dahinter ist, dass Du auf beiden Seiten der Gleichung zwei Brüche stehen hast, deren Nenner gleich ist. Da das Ganze ja eine Gleichung ist, bedeutet dies, dass auch die Ausdrücke, die im Zähler stehen, gleich sein müssen. Was steht nun im Zähler? Da findest Du einen Ausdruck mit Potenzen und Dein Ansatz für die rechte Seite der Gleichung enthält auch diese Potenzen. Für alle Potenzen, die nun rechts und links im Zähler vorkommen, müssen die beiden Ausdrücke jeweils gleich sein. So entstehen die beiden Gleichungen, die ich angegeben habe.
Was nicht unbedingt immer einfach ist, ist, eine Partialbruchzerlegung zu finden. In Deinem Fall springt aber einem ja im Nenner förmlich die dritte binomische Formel ins Auge und so ist die Zerlegung recht einfach möglich.
Viele Grüße,
Infinit
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Aus der Antwort werde ich noch unsicherer. Im Zähler stehen ganz sicher keine Potenzen, sondern im Nenner. Diesen braucht man aber nicht da linke und rechte Seite gleich sind.
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo nochmal,
> Aus der Antwort werde ich noch unsicherer. Im Zähler
> stehen ganz sicher keine Potenzen, sondern im Nenner.
> Diesen braucht man aber nicht da linke und rechte Seite
> gleich sind.
Ok, nochmal ausführlich aufgeschrieben.
Wir gehen aus von $\frac{1}{x^2-a^2}=\frac{\red{0}\cdot{}x+\blue{1}}{x^2-a^2}=\frac{\red{0}\cdot{}x^1+\blue{1}\cdot{}x^0}{x^2-a^2}$
Dann machen wir eine PBZ:
$\frac{\red{0}\cdot{}x+\blue{1}}{x^2-a^2}=\frac{A}{x-a}+\frac{B}{x+a}=\frac{A(x+a)}{x^2-a^2}+\frac{B(x-a)}{x^2-a^2}=\frac{Ax+aA+Bx-aB}{x^2-a^2}=\frac{\red{(A+B)}\cdot{}x+\blue{aA-aB}}{x^2-a^2}$
Nun vergleichen wir die Brüche ganz links und ganz rechts:
$\frac{\red{0}\cdot{}x+\blue{1}}{x^2-a^2} \ = \ \frac{\red{(A+B)}\cdot{}x+\blue{aA-aB}}{x^2-a^2}$
Die sind gleich, wenn ihre Zähler gleich sind:
Also $\red{0}\cdot{}x+\blue{1} \ = \ \red{(A+B)}\cdot{}x+\blue{aA-aB}$
Und das ist gleich, wenn die Koeffizienten der x-Potenzen gleich sind.
Also $\red{A+B=0}$ und $\blue{aA-aB=1$
Also $A=-B$ und damit $aA-bB=a(-B)-aB=2aB=1$, also $B=-\frac{1}{2a}$
Und entsprechend wegen $A=-B$ dann: $A=\frac{1}{2a}$
Also ist $\int{\frac{1}{x^2-a^2} \ dx} \ = \ \frac{1}{2a}\cdot{}\left[ \ \int{\frac{1}{x-a} \ dx} - \ \int{\frac{1}{x+a} \ dx} \ \right]$
Und das lässt sich doch im Vergleich zum Ausgangsintegral durch einfaches Hinsehen integrieren ...
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:49 Sa 10.07.2010 | | Autor: | marco-san |
Wow! Das hilft mir jetzt weiter. Vielen Dank Schachuzipus.
Bist Du ein Mathegenie oder musstest Du auch alles aufs genauste aufschreiben? Ich staune manchmal nur über die Leute hier drin.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:58 Sa 10.07.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Wow! Das hilft mir jetzt weiter. Vielen Dank
> Schachuzipus.
> Bist Du ein Mathegenie oder musstest Du auch alles aufs
> genauste aufschreiben? Ich staune manchmal nur über die
> Leute hier drin.
ich will Schachuzipus nicht den Status des Genies absprechen, aber: Du kannst bzw. wirst im Laufe der Zeit sicher ein ähnliches Geschick bzw. Gespür entwickeln (können) und einen ähnlichen (sagen wir mal:) "Expertenstatus" erreichen können. Denn in Mathe ist's wie auch sonst so oft im Leben:
Durch ständiges Wiederholen und durch ständige Beschäftigung mit solch' einer Materie vertieft man sein Wissen und sein Können auf diesem Gebiet.
P.S.:
@ Schachuzipus: Wie gesagt, ich kann es nicht beurteilen, ob Du genial bist, aber gewisse "Expertenkenntnisse" kannst Du sicher vorweisen. 
Beste Grüße,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:12 Sa 10.07.2010 | | Autor: | Gonozal_IX |
Schachuzipus for Fields Medal *g*
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:52 So 11.07.2010 | | Autor: | Marcel |
> Schachuzipus for Fields Medal *g*
Jepp 
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Moin,
> > Schachuzipus for Fields Medal *g*
>
> Jepp
Nee, nee, ich habe doch schon das Seepferdchen, das reicht mir voll und ganz
Gruß
schachuzipus
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Hallo,
wieso stellst du den Status der Frage kommentarlos immer wieder auf unbeantwortet um?
Sie ist doch beantwortet.
Wenn was unklar ist, frage nach (hast du ja getan und die neue Frage ist in Beantwortung)
Also nicht kommentarlos umstellen!
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:42 Sa 10.07.2010 | | Autor: | marco-san |
Also erstens:
Vielen Dank für die super Hilfe!
So kann ich das nachvollziehen und was draus lernen.
An Schachzipus:
Sorry, werde es in Zukunft so handhaben.
Danke auch für deinen Hilfe.
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