Partialbruchzerlegung < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:58 Mi 27.08.2008 | | Autor: | TTaylor |
Für Aufgabe
[mm] \bruch{z^2}{(z+i)(z-i)^2}[/mm]
ist die Partialbruchzerlegung:
[mm] \bruch{A}{z+i}+\bruch{B}{z-i}+\bruch{C}{(z-i)^2}[/mm]
Erste Frage warum betrachte ich hier [mm]\bruch{C}{(z-i)^2}[/mm]und nicht nur [mm] \bruch{A}{z+i}+\bruch{B}{(z-i)^2}[/mm]
Wenn ich weiterrechne erhalt ich:
[mm] \bruch{A(z+i)(z-i)(z-i)^2+B(z-i)(z+i)(z-i)^2+C(z-i)^2(z-i)(z+i)}{(z+i)(z-i)^2}[/mm]
Ist dieser Schritt richtig?
Mein Ergebnis soll: [mm]\bruch{1/4}{z+i}+\bruch{3/4}{z-i}+\bruch{i/2}{(z-i)^2}[/mm] sein. Und auf dieses Ergebnis bin ich leider nicht gekommen.
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> Für Aufgabe
> [mm]\bruch{z^2}{(z+i)(z-i)^2}[/mm]
> ist die Partialbruchzerlegung:
>
> [mm]\bruch{A}{z+i}+\bruch{B}{z-i}+\bruch{C}{(z-i)^2}[/mm]
>
> Erste Frage warum betrachte ich hier [mm]\bruch{C}{(z-i)^2}[/mm]und
> nicht nur [mm]\bruch{A}{z+i}+\bruch{B}{(z-i)^2}[/mm]
>
So ist nunmal die Defintion bei einer doppelten Nullstelle.
> Wenn ich weiterrechne erhalt ich:
>
> [mm]\bruch{A(z+i)(z-i)(z-i)^2+B(z-i)(z+i)(z-i)^2+C(z-i)^2(z-i)(z+i)}{(z+i)(z-i)^2}[/mm]
>
Der Zähler stimmt, im Nenner ist aber etwas falsch. Du musst ja mit dem Hauptnenner [mm] $(z+i)(z-i)(z-i)^2$ [/mm] multiplizieren. Insgesamt lässt sich auch immer viel kürzen, sodass man gar nicht auf so viele Terme kommt. Außerdem solltest du die linke Seite der Gleichung weiterhin mitschreiben, sonst kannst du ja kein Koeffizientenvergleich machen.
So solltes es aussehen:
[mm] $z^2 [/mm] = A [mm] (z-i)^2 [/mm] + B (z+i)(z-i) + C (z+i)$
> Ist dieser Schritt richtig?
> Mein Ergebnis soll:
> [mm]\bruch{1/4}{z+i}+\bruch{3/4}{z-i}+\bruch{i/2}{(z-i)^2}[/mm]
> sein. Und auf dieses Ergebnis bin ich leider nicht
> gekommen.
>
Dann versuche es jetzt nochmal.
Grüße Patrick
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:27 Mi 27.08.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> > Für Aufgabe
> > [mm]\bruch{z^2}{(z+i)(z-i)^2}[/mm]
> > ist die Partialbruchzerlegung:
> >
> > [mm]\bruch{A}{z+i}+\bruch{B}{z-i}+\bruch{C}{(z-i)^2}[/mm]
> >
> > Erste Frage warum betrachte ich hier [mm]\bruch{C}{(z-i)^2}[/mm]und
> > nicht nur [mm]\bruch{A}{z+i}+\bruch{B}{(z-i)^2}[/mm]
> >
> So ist nunmal die Defintion bei einer doppelten
> Nullstelle.
Naja, etwas mehr wie ``Definition'' ist es schon. Der Grund ist, dass man fuer $A$, $B$ und $C$ jeweils nur (komplexe) Zahlen herausbekommen moechte und keine Polynome. Man kann natuerlich [mm] $\frac{B}{z-i} [/mm] + [mm] \frac{C}{(z-i)^2}$ [/mm] zu [mm] $\frac{B (z - i) + C}{(z - i)^2} [/mm] = [mm] \frac{B z + (C - i B)}{(z - i)^2} [/mm] = [mm] \frac{\hat{B}}{(z - i)^2}$ [/mm] zusammenfassen, wobei [mm] $\hat{B}$ [/mm] ein Polynom vom Grad [mm] $\le [/mm] 1$ ist.
Es kann natuerlich auf gut Glueck herauskommen, dass [mm] $\hat{B}$ [/mm] eine Zahl ist, also $B = 0$ ist; dann reicht [mm] $\frac{A}{z+i} [/mm] + [mm] \frac{C}{(z-i)^2}$ [/mm] wirklich aus. Aber im Allgemeinen ist das nicht der Fall, deswegen braucht man den Term [mm] $\frac{B}{z - i}$.
[/mm]
LG Felix
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