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| Aufgabe | Integrieren Sie folgenden Term:
[mm] \integral{\bruch{2x^{2} + 2x + 4}{x^{3} + 4x}dx}
[/mm]
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Hi @ all.
Es wäre toll, wenn mir jemand dieses Beispiel vorrechnen könnte. In meinen Unterlagen bzw im Internet finde ich nichts passendes. In diesem Fall handelt es sich um eine Partilbruchzerlegung mit 2 komplexen Nullstellen, jedoch habe ich keine Ahnung was ich machen soll.
Bitte um eure Hilfe, sonst sitze ich wahrscheinlich noch übermorgen an diesem Bsp*G*
mfg, stefan
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:21 Do 01.03.2007 | | Autor: | Herby |
Hallo Stefan,
zum vorrechnen habe ich keine Zeit, aber den Anfang kann ich dir sagen:
Zerlege den Nenner in [mm] x*(x^2+4) [/mm] -- daraus folgt die Partialbruchzerlegung
[mm] \bruch{A}{x}+\bruch{Bx+C}{x^2+4}
[/mm]
nun mit dem Hauptnenner erweitern und anschließend einen Koeffizientenvergleich mit [mm] 2x^2+2x+4 [/mm] durchführen.
Liebe Grüße
Herby
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Hallo Stefan0020,
Also die Partialbruchzerlegung von [mm] \bruch{2x^{2} + 2x + 4}{x^{3} + 4x} [/mm] ergibt: [selber nachrechnen mit Herbys Tipp]
[mm] \bruch{2x^{2} + 2x + 4}{x^{3} + 4x}=\bruch{1}{x}+\bruch{x+2}{x^2+4}
[/mm]
Also [mm] \integral{\bruch{2x^{2} + 2x + 4}{x^{3} + 4x}dx}=\integral{\left(\bruch{1}{x}+\bruch{x+2}{x^2+4}\right)dx}=\integral{\left(\bruch{1}{x}+\bruch{x}{x^2+4}+\bruch{2}{x^2+4}\right)dx}
[/mm]
[mm] =\integral{\bruch{1}{x}dx}+\integral{\bruch{x}{x^2+4}dx}+\integral{\bruch{2}{x^2+4}dx}
[/mm]
[mm] =\integral{\bruch{1}{x}dx}+\integral{\bruch{x}{x^2+4}dx}+2\cdot{}\integral{\bruch{1}{x^2+4}dx}
[/mm]
Das kannst du nun einzeln integrieren:
Das erste Integral ist klar 
Das letzte ist von der Form [mm] \integral{\bruch{1}{x^2+a^2}} \Rightarrow [/mm] eine Stammfunktion ist [mm] \bruch{1}{a}\cdot{}arctan\left({\bruch{x}{a}}\right)
[/mm]
Für das zweite benutze folgende Substitution: [mm] u:=x^2+4 [/mm]
Den Rest versuch mal. Kannst ja dein Ergebnis mal posten
Gruß
schachuzipus
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Hallo.
ICh habe jetzt A, B und C durch die Partialbruchzerlegung berechnet.Nun habe ich folgenden Term stehen:
[mm] \integral{ \bruch{1}{x}dx} [/mm] + [mm] \integral{\bruch{x}{x^{2} + 4} dx} [/mm] + [mm] 2*\integral{\bruch{1}{x^{2} + 4} dx}
[/mm]
Das erste Integral wäre gelöst ln(x), das dritte Integral wäre gelöst: [mm] \bruch{1}{4} arctan\bruch{x}{4}. [/mm] WÄRE DAS SOWEIT RICHTIG? Jedoch habe ich Probleme beim Lösen des 2. Integrals. Wäre toll,wenn mir jemand das vorrechnen würde, bzw es mir erklären würde.
mfg, stefan
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Hallo Stefan,
nein nicht ganz - siehe meinen obigen post,
das dritte Integral ist ja [mm] 2\cdot{}\integral{\bruch{1}{x^{2} + 4} dx}=2\cdot{}\integral{\bruch{1}{x^{2} + 2^2} dx}
[/mm]
Also ist eine Stammfunktion: [mm] 2\cdot \bruch{1}{2}\cdot{}arctan\left(\bruch{x}{2}\right)=arctan\left(\bruch{x}{2}\right)
[/mm]
Das zweite Integral sollte mit der oben angegebenen Substitution [mm] u:=x^2+4 [/mm] klappen
[mm] \Rightarrow \bruch{du}{dx}=2x \Rightarrow dx=\bruch{du}{2x}
[/mm]
Wenn du das einsetzt, kürzt sich ne Menge weg
Gruß
schachuzipus
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oh, danke beim dritten Integral habe ich den Faktor 2 ganz übersehen.
Ok, hab das jetzt eingesezt. Dann erhalte ich:
[mm] \integral{\bruch{x}{u} *\bruch{du}{2x} }
[/mm]
Jedoch, sehe ich nicht was sich hier rauskürzen sollte. Wenn, dann geht nur x zum kürzen, nur dann weiß ich nicht was ich weiter machen soll. Beim Integrieren hab ich wirklich ein Brett vor dem Kopf.
mfg, stefan
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> oh, danke beim dritten Integral habe ich den Faktor 2 ganz
> übersehen.
>
> Ok, hab das jetzt eingesezt. Dann erhalte ich:
>
> [mm]\integral{\bruch{x}{u} *\bruch{du}{2x} }[/mm]
>
> Jedoch, sehe ich nicht was sich hier rauskürzen sollte.
> Wenn, dann geht nur x zum kürzen,
Hallo,
immerhin!
Du behältst dann [mm] \bruch{1}{2}\integral{\bruch{1}{u}{du} }, [/mm] und Du mußt Dir nur noch überlegen, von welcher Funktion f(u) die Ableitung [mm] \bruch{1}{u} [/mm] ist.
Allerdings gefällt mir die Art, wie schachuzipus die Substitution ausführt, nicht, wegen des [mm] dx=\bruch{du}{2x}. [/mm] Denn daß man bei der Substitution zunächst noch die Variable, die man loswerden möchte, im Integral behält, ist ganz und gar nicht im Sinne des Erfinders, wenn nicht sogar falsch. (Spätestens bei bestimmten Integralen bekommt man große Probleme wegen der Grenzen.)
Die Substitution würde man normalerweise so durchführen:
[mm] u=x^2+4
[/mm]
[mm] x=\wurzel{u-4}
[/mm]
[mm] dx=\bruch{1}{2\wurzel{u-4}},
[/mm]
was im Integral schließlich auf's selbe wie oben hinausläuft.
Noch eine andere Sache: bei dem Integral kannst Du Dir die Substitution im Prinzip sparen, wenn Du Dein ganzes (Soll-)Wissen zusammenkramst.
Du hattest [mm] \integral{\bruch{x}{x^2+4} dx}.
[/mm]
Bis auf einen Faktor steht im Zähler die Ableitung des Nenners,
also [mm] \bruch{1}{2}\integral{\bruch{f'(x)}{f(x)} dx}.
[/mm]
Auf die Stammfunktion von [mm] \bruch{f'(x)}{f(x)} [/mm] wird man ja schon in der Schule gedrillt: ln(f(x)).
Edit aufgrund von heyks Hinweis: ln|f(x)| (für [mm] f(x)\not=0)
[/mm]
Jedenfalls war das bei mir und meinem Sohn so.
Gruß v. Angela
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so, hab jetzt das 2 integral berechnet:
und das endergebnis ist: [mm] \bruch{1}{4} [/mm] * [mm] ln(x^{2} [/mm] + 4) + x
ist das richtig?
mfg, stefan
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> so, hab jetzt das 2 integral berechnet:
>
> und das endergebnis ist: [mm]\bruch{1}{4}[/mm] * [mm]ln(x^{2}[/mm] + 4) + x
>
> ist das richtig?
>
> mfg, stefan
Hallo Stefan,
das kann nicht stimmen, leite das Ergebnis mal ab.
Du suchst [mm] \bruch{1}{2}\integral{\bruch{1}{u}du}=\bruch{1}{2}ln(u)=\bruch{1}{2}ln(x^2+4)
[/mm]
Probe: [mm] \left(\bruch{1}{2}ln(x^2+4)\right)'=\bruch{1}{2}\cdot{}\bruch{1}{x^2+4}\cdot{}2x=\bruch{x}{x^2+4}
[/mm]
Gruß
schachuzipus
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ok, dass mit dem [mm] \bruch{1}{2} [/mm] ln(u) ist mir klar. Jedoch verstehe ich nicht, wohin das dx geht.
Wenn ich auf dx umforme und dann dx einsetze bekomme ich:
[mm] \bruch{1}{2} \integral{\bruch{x}{u}} [/mm] * (u - [mm] 4)^{-\bruch{1}{2}} [/mm] du heraus.
Irgendwie fehtl doch der ganze letzte Absatz, oder ist er bei mir einfach zu viel?
mfg, stefan
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Hallo nochmal,
bei "meiner" Substitutionsvariante [mm] (u=x^2+4 [/mm] und [mm] dx=\bruch{du}{2x}) [/mm] hast du doch in dem Integral das dx ersetzt durch [mm] \bruch{du}{2x}, [/mm] du hast also - mal ausführlich aufgeschrieben:
[mm] \integral{\bruch{x}{\red{x^2+4}}\red{dx}}=\integral{\bruch{x}{\green{u}}\green{\bruch{du}{2x}}} [/mm] [x stehen gelassen, [mm] x^2+4 [/mm] und dx ersetzt gem. Substitution]
[mm] =\integral{\bruch{1}{2u}du}=\bruch{1}{2}\integral{\bruch{1}{u}du} [/mm] [kein dx mehr] [mm] =\bruch{1}{2}ln(u)=\bruch{1}{2}ln(x^2+4) [/mm] [Rücksubstitution für u] und feddich ist die Laube
Mit Angelas Variante geht's ebenso
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:26 Fr 02.03.2007 | | Autor: | Stefan0020 |
Jetzt habe ich es verstanden. Die x kürzen sich weg. Gott, dass habe ich erst jetzt gesehen*G*
Ihr seit die Könige der Mathematik!
Danke
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> Wenn ich auf dx umforme und dann dx einsetze bekomme ich:
>
> [mm]\bruch{1}{2} \integral{\bruch{x}{u}}[/mm] * (u -
> [mm]4)^{-\bruch{1}{2}}[/mm] du heraus.
Nein, wenn Du richtig substituierst, d.h. an jeder Stelle das x durch [mm] x=\wurzel{u-4} [/mm] ersetzt, hast Du im Integral kein x mehr.
Gruß v. Angela
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Hallo noch ens
die Frage war ja auch, was mit dem [mm] \red{dx} [/mm] passiert, und das wird - ob nun nach deiner Variante durch [mm] \bruch{du}{2\wurzel{u-4}} [/mm] oder durch [mm] \bruch{du}{2x} [/mm] - in beiden Fällen [mm] \red{ersetzt}.
[/mm]
Ich hab die Substitution halt so gewählt, da sich das x direkt rauskürzt, auch wenn es mathematisch vllt. nicht 10000% astrein ist
Gruß
schachuzipus
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Hallo Angela,
wenn du [mm] u:=x^2+4 [/mm] setzt [mm] \Rightarrow x^2=u-4
[/mm]
[mm] \Rightarrow x=\pm\wurzel{u-4} \Rightarrow dx=\pm\bruch{1}{2\wurzel{u-4}}du
[/mm]
Dann bekommt man doch für das Integral
[mm] \pm\bruch{1}{2}\integral{\bruch{1}{u}du}
[/mm]
Was ist denn dann das Ergebnis? Der Betrag, also der positive Wert?
Es muss ja [mm] \bruch{1}{2}ln(x^2+4) [/mm] rauskommen, also wie ist das denn dann mit der Eindeutigkeit bei deiner Substitution?
Würde mich mal interessieren
Gruß
schachuzipus
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> Hallo Angela,
>
> wenn du [mm]u:=x^2+4[/mm] setzt [mm]\Rightarrow x^2=u-4[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow x=\pm\wurzel{u-4} \Rightarrow dx=\pm\bruch{1}{2\wurzel{u-4}}du[/mm]
Ich entscheide mich natürlich für eine der beiden Varianten.
Die plus-Variante ist eh klar.
Die minus- Variante:
[mm] x=-\wurzel{u-4}
[/mm]
[mm] dx=-\bruch{1}{2\wurzel{u-4}}
[/mm]
ergibt
[mm] \integral{\bruch{x}{x^2+4} dx}=\integral{\bruch{-\wurzel{u-4}}{u}*(-\bruch{1}{2\wurzel{u-4}}) dx}
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{2}\integral{\bruch{1}{u}du}.
[/mm]
Es kommt also immer beide Male dasselbe heraus.
Gruß v. Angela
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ok
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 16:22 Fr 02.03.2007 | | Autor: | heyks |
> Auf die Stammfunktion von [mm]\bruch{f'(x)}{f(x)}[/mm] wird man ja
> schon in der Schule gedrillt: ln(f(x)). Jedenfalls war das
> bei mir und meinem Sohn so.
>
Die Stammfunktion von [mm]\bruch{f'(x)}{f(x)}[/mm] kann i.a. nicht [mm] \ln(f(x)) [/mm] sein, denn es soll tatsächlich diff-bare Funktionen geben, die nichtpositive Werte annehmen.
MfG
Heiko
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