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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:51 Do 09.03.2006 | | Autor: | zaaaq |
| Aufgabe | | [mm] \integral \bruch{x+2}{x^{3}-2x+x} [/mm] dx |
Und wiedereinmal erhalte ich andere Koeffizienten als in der Lösung.
Und zwar erhalte ich:
A=1
B=-1
C=1
Die Lösung sieht vor:
A=2
B=-2
C=3
Ich habe gerechnet: [mm] A(x^{3}-3x²+3x-1)+B(x^{3}-2x²+x)+C(x²-x)
[/mm]
[mm] =(A+B)x^{3}+(-3A-2B+C)x²+(3A+B-C)x-A
[/mm]
Wo ist da mein Fehler?
danke für die Hilfe.
zaaaq
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Hallo zaaaq!
Diesmal erhalte ich nicht Deine Lösung, sondern die vorgegebene.
Ich kann auch nicht Deiner Partialbruchzerlegung folgen. Ich habe:
[mm] $x^3-2x^2+x [/mm] \ = \ [mm] x*\left(x^2-2x+1\right) [/mm] \ = \ [mm] x*(x-1)^2$
[/mm]
Damit lautet die Partialbruchzerlegung:
[mm] $\bruch{A}{x}+\bruch{B}{x-1}+\bruch{C}{(x-1)^2}$
[/mm]
Da taucht der Term [mm] $x^3$ [/mm] also überhaupt nicht auf.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:10 Do 09.03.2006 | | Autor: | zaaaq |
Ich habe die selben Partialbrüche wie du verwendet.
Aber das muss doch dann lauten:
A(x-1)(x-1)²+b(x(x-1)²+c(x(x-1))
Und wenn ich das ausrechne erhalte ich [mm] x^{3}
[/mm]
Wo ist da der Fehler?
grüße
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Hallo zaaaq!
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Das stimmt nicht bzw. ist es völlig überflüssig!
Im Zähler des Gesamtbruches muss nach dem Erweitern auf den Hauptnenner [mm] $x*(x-1)^2$ [/mm] stehen:
[mm] $A*(x-1)^2+B*x*(x-1)+C*x$
[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:27 Do 09.03.2006 | | Autor: | zaaaq |
Und wie kommt man darauf?
Ich dachte ich muss einfach A mit den Nennern der Partialbrüche B und C multiplizieren um sie auf einen Hauptnenner zu bringen. Das selbe spiel mit B(Nennern von A und C multiplizieren) und C(Nenner von B und A).
Ich bin nun fast völlig verwirrt. Ich hoffe wir können meine Unklarheiten noch beseitigen.
gruß zaaaq.
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Hi zaaaq!
Ich beschäftige mich auch grad mit diesen fiesen Partialbruchzerlegungen.
Ich hoffe, ich kann deine Unklarheiten beseitigen.
Also deine Partialbruchzerlegung lautet ja wie folgt:
... = [mm] \bruch{A}{x} [/mm] + [mm] \bruch{B}{x-1} [/mm] + [mm] \bruch{C}{(x-1)²}
[/mm]
Der Hauptnenner dieser 3 Brüche ist doch x * (x-1)².
Also erweiterst du wie folgt:
[mm] \to [/mm] Den ersten Bruch mit (x-1)²
[mm] \to [/mm] Den zweiten Bruch mit x * (x-1)
[mm] \to [/mm] Den dritten Bruch mit x
Das sieht dann so aus:
[mm] \bruch{A}{x} [/mm] + [mm] \bruch{B}{x-1} [/mm] + [mm] \bruch{C}{(x-1)²}
[/mm]
= [mm] \bruch{A * (x-1)²}{x * (x-1)²} [/mm] + [mm] \bruch{Bx * (x-1)}{x * (x-1)²} [/mm] + [mm] \bruch{Cx}{x * (x-1)²}
[/mm]
Und das ist die Lösung, die Roadrunner dir auch gegeben habt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:00 Do 09.03.2006 | | Autor: | zaaaq |
Ow, nun erst sehe ich das. Aber habe es dank dir verstanden.
Vielen dank dir!
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Gibt einen Trick in dem man sich in vielen Fällen viel Arbeit sparen kann.
[mm] $\bruch{x+2}{x^{3}-2x+x} [/mm] $
[mm] $=\bruch{x+2}{x(x-1)^2}=\bruch{A}{x}+\bruch{B}{x-1}+\bruch{C}{(x-1)^2} [/mm] $
Multipliezieren mit [mm] $(x-1)^2$
[/mm]
$ [mm] \gdw\bruch{(x+2) (x-1)^2}{x(x-1)^2}=\bruch{A (x-1)^2}{x}+\bruch{B(x-1)^2 }{x-1}+\bruch{C}{(x-1)^2} [/mm] $
$ [mm] \gdw\bruch{(x+2) }{x}=\bruch{A (x-1)^2}{x}+B(x-1)+C [/mm] $
Da diese Gelichung für alle x erfüllt sein muss setzt ich x=1
$ [mm] \gdw\bruch{(1+2) }{1}=\bruch{A (1-1)^2}{x}+B(1-1)+C [/mm] $ Rechte Seite wird 0 bis auf C
$ 3=C $
Als nächstes Multipliziere mit $x$
[mm] $=\bruch{x+2}{(x-1)^2}=A+\bruch{B x}{x-1}+\bruch{C x}{(x-1)^2} [/mm] $
mit $x=0$
$ [mm] \Rightarrow\bruch{0+2}{(0-1)^2}=2=A$ [/mm]
Ab jetzt gibts mehrere Möglichkeiten:
die Einfachste:
x ungleich einer Nullselle Setzten z.B. x=-2 C und A einsetzen:
[mm] $\bruch{-2+2}{-2(-2-1)^2}=\bruch{2}{-2}+\bruch{B}{-2-1}+\bruch{3}{(-2-1)^2} [/mm] $
[mm] $0=-1-\bruch{B}{3}+\bruch{1}{3}$
[/mm]
[mm] $\gdw [/mm] B=-2$
Wie mal sieht musste ich kein Gleichungssystem mit mehreren unbekannten Lösen.
Geht am besten wenn man keine komplexen Nullstellen hat und nicht mehr als Zweifache Nullstellen.
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