Partialbruchzerlegung < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:21 Mi 07.12.2016 | | Autor: | mimo1 |
| Aufgabe | Bestimme für folgende Funktion die Partialbruchzerlegung
[mm] f(x)=\bruch{1}{(1-x)(1-x^2)(1-x^5)} [/mm] |
Hallo,
Könnte jemand ein Blick auf meine Rechnung werfen? An sich ist die Partialbruchzerlegung nicht schwierig, jedoch bekomme ich keine vernünftige Lösung.
[mm] \bruch{A}{(1-x)}+\bruch{B}{(1-x^2)}+\bruch{C}{(1-x^5)}=\bruch{1}{(1-x)(1-x^2)(1-x^5)}
[/mm]
[mm] \Rightarrow A(1-x^2)(1-x^5)+B(1-x)(1-x^5)+C(1-x)(1-x^2)=1
[/mm]
[mm] \gdw A(1-x^2-x^5+x^7)+B(1-x-x^5+x^6)+C(1-x-x^2+x^3)=1
[/mm]
[mm] \gdw x^7*(A)+x^6*(B)+x^5*(-A-B)+x^3*(C)+x^2(-A-C)+x(-B-C)+(A+B+C)=1
[/mm]
dann erhalten wir mit koeffizientenvergleich
[mm] x^7: [/mm] A=0
[mm] x^6: [/mm] B=0
[mm] x^5: [/mm] -A-B=0
[mm] x^3: [/mm] C=0
[mm] x^2: [/mm] -A-C=0
[mm] x^1: [/mm] -B-C=0
[mm] x^0: [/mm] A+B+C=1
aber wir erhalten dann A=B=C=0 aber das ist im Widerspruch zu A+B+C=1.
Wo liegt mein fehler?
Dankeschön im Voraus.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:27 Do 08.12.2016 | | Autor: | meili |
Hallo mimo1,
> Bestimme für folgende Funktion die Partialbruchzerlegung
>
> [mm]f(x)=\bruch{1}{(1-x)(1-x^2)(1-x^5)}[/mm]
> Hallo,
>
> Könnte jemand ein Blick auf meine Rechnung werfen? An sich
> ist die Partialbruchzerlegung nicht schwierig, jedoch
> bekomme ich keine vernünftige Lösung.
>
> [mm]\bruch{A}{(1-x)}+\bruch{B}{(1-x^2)}+\bruch{C}{(1-x^5)}=\bruch{1}{(1-x)(1-x^2)(1-x^5)}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow A(1-x^2)(1-x^5)+B(1-x)(1-x^5)+C(1-x)(1-x^2)=1[/mm]
>
> [mm]\gdw A(1-x^2-x^5+x^7)+B(1-x-x^5+x^6)+C(1-x-x^2+x^3)=1[/mm]
>
> [mm]\gdw x^7*(A)+x^6*(B)+x^5*(-A-B)+x^3*(C)+x^2(-A-C)+x(-B-C)+(A+B+C)=1[/mm]
>
> dann erhalten wir mit koeffizientenvergleich
>
> [mm]x^7:[/mm] A=0
>
> [mm]x^6:[/mm] B=0
>
> [mm]x^5:[/mm] -A-B=0
>
> [mm]x^3:[/mm] C=0
>
> [mm]x^2:[/mm] -A-C=0
>
> [mm]x^1:[/mm] -B-C=0
>
> [mm]x^0:[/mm] A+B+C=1
>
> aber wir erhalten dann A=B=C=0 aber das ist im Widerspruch
> zu A+B+C=1.
>
> Wo liegt mein fehler?
[mm] $(1-x^2)$ [/mm] und [mm] $(1-x^5)$ [/mm] sind keine Linearfaktoren.
Partialbruchzerlegung funktioniert nur mit Linearfaktoren [mm] $(x-x_i)$, [/mm]
Potenzen von Linearfaktoren [mm] $(x-x_i)^k$ [/mm] bzw. [mm] $(x^2+px+q)^l$, [/mm] wenn
konjungiert komplexe Linearfaktoren vorkommen, wie bei [mm] $(1-x^5)$, [/mm]
dann mit [mm] $\bruch{b+cx}{(x^2+px+q)^l}$.
[/mm]
> Dankeschön im Voraus.
Gruß
meili
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 06:54 Do 08.12.2016 | | Autor: | mimo1 |
danke! das habe ich vollkommen ignoriert.
die linearfaktore für [mm] (1-x^2) [/mm] sind klar.
was mir schwierigkeiten bereitet sind die linearfaktoren für [mm] (1-x^5) [/mm] zu bestimmen.
eine linearfaktor wäre [mm] (1-x^5)=(1-x)(1+x+x^2+x^3+x^4).
[/mm]
aber wie lässt sich [mm] (1+x+x^2+x^3+x^4) [/mm] in linearfaktoren zerlegen. dieses polynom lässt sich von keiner zahl ( ich habe es auch mit i versucht) annulieren. oder täusche ich mich?
dankeschön im voraus.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:33 Do 08.12.2016 | | Autor: | hippias |
Wie meili schon sagte: in diesem Fall kommen irreduzible Faktoren [mm] $x^{2}+px+q$ [/mm] zum Einsatz. Und ehe Du Dich bei der Bestimmung der $p$ und $q$ wundrechnest, finde alle komplexen Lösungen [mm] $x_{i}$ [/mm] von [mm] $1-x^{5}=0$ [/mm] - das ist leicht - und berechne dann [mm] $(x-x_{i})(x-\overline{x_{i}})$; [/mm] dies sind dann die quadratischen irreduziblen reellen Faktoren.
|
|
|
|
