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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:40 Di 21.07.2015 | | Autor: | poeddl |
| Aufgabe | | Parametrisierung eines Dreiecks |
Hallo,
ich habe mal wieder ein paar Fragen und hoffe, ihr könnt mir mal wieder helfen.
Mir ist bewusst, dass man eine Gerade, die durch die Punkte P (-2|1) und Q (4|4) geht wie folgt parametrisieren kann:
x=(-2|1)+t(6|3), wobei t zwischen 0 und 1 liegt.
Hier direkt die erste Frage: Ist es grundsätzlich egal, ob ich P - Q oder Q - P für den Richtungsvektor nutze?
Wie gehe ich nun aber vor, wenn ich ein Dreieck und nicht nur eine Gerade parametrisieren möchte (im zweidimensionalen Raum, als auch im dreidimensionalen Raum)?
Ich wähle dann einen Aufpunkt und wie verfahre ich dann mit den Richtungsvektoren?
Ich habe ja drei Punkte, bspw. P(1,1), Q(4,1) und R(2,3)
Wie sieht dann die Parametrisierung aus, stimmt mein Ansatz?
[mm] x=\vektor{1 \\ 1} [/mm] + [mm] t\vektor{4-1 \\ 1-1} +s\vektor{2-1 \\ 3-1}=\vektor{1 \\ 1}+t\vektor{3 \\ 0}+s\vektor{1 \\ 2}
[/mm]
Stimmt das so? Bzw. wie kann ich mir das vorstellen, wenn ich es zeichnen möchte? Ich starte beim Punkt (1,1) zu zeichnen und kann jetzt, wenn t zwischen 0 und 1 liegt eine Gerade bis zum Punkt (4,1) zeichnen.
Zeichne ich die Gerade mit dem Koeffizienten s jetzt vom Punkt (1,1) ausgehend?
Dann würde ich quasi den linken Schenkel zeichnen können, wenn s von 0 bis 1 läuft. Wie zeichne ich jetzt aber die dritte Gerade des Dreiecks?
Und wie gehe ich im Dreidimensionalen vor? Vielleicht hat dazu ja jemand noch eine Beispielaufgabe, ich konnte im Internet nichts mit Lösungen finden.
Über Antworten würde ich mich freuen und bedanke mich vorab für jegliche Hilfe!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:21 Di 21.07.2015 | | Autor: | abakus |
> Parametrisierung eines Dreiecks
> Hallo,
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> ich habe mal wieder ein paar Fragen und hoffe, ihr könnt
> mir mal wieder helfen.
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> Mir ist bewusst, dass man eine Gerade, die durch die Punkte
> P (-2|1) und Q (4|4) geht wie folgt parametrisieren kann:
>
> x=(-2|1)+t(6|3), wobei t zwischen 0 und 1 liegt.
>
> Hier direkt die erste Frage: Ist es grundsätzlich egal, ob
> ich P - Q oder Q - P für den Richtungsvektor nutze?
Zur Darstellung der Geraden: Ja.
Zur Darstellung/Parametrisierung der Strecke PQ: Jein.
Da du den Ortsvektor von P als Stützvektor verwendest, brauchst du für die Parametriesierung der Strecke PQ mit t-Werten 0 bis 1 den Vektor [mm]\overrightarrow{PQ}[/mm] (in deiner Formulierung: "Q - P").
Wenn du mit "P-Q" arbeiten willst (und auch vom Punkt P ausgehst), müsste t Werte von 0 bis -1 annehmen.
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> Wie gehe ich nun aber vor, wenn ich ein Dreieck und nicht
> nur eine Gerade parametrisieren möchte (im
> zweidimensionalen Raum, als auch im dreidimensionalen
> Raum)?
> Ich wähle dann einen Aufpunkt und wie verfahre ich dann
> mit den Richtungsvektoren?
> Ich habe ja drei Punkte, bspw. P(1,1), Q(4,1) und R(2,3)
>
> Wie sieht dann die Parametrisierung aus, stimmt mein
> Ansatz?
>
> [mm]x=\vektor{1 \\ 1}[/mm] + [mm]t\vektor{4-1 \\ 1-1} +s\vektor{2-1 \\ 3-1}=\vektor{1 \\ 1}+t\vektor{3 \\ 0}+s\vektor{1 \\ 2}[/mm]
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> Stimmt das so? Bzw. wie kann ich mir das vorstellen, wenn
> ich es zeichnen möchte? Ich starte beim Punkt (1,1) zu
> zeichnen und kann jetzt, wenn t zwischen 0 und 1 liegt eine
> Gerade bis zum Punkt (4,1) zeichnen.
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> Zeichne ich die Gerade mit dem Koeffizienten s jetzt vom
> Punkt (1,1) ausgehend?
> Dann würde ich quasi den linken Schenkel zeichnen können,
> wenn s von 0 bis 1 läuft. Wie zeichne ich jetzt aber die
> dritte Gerade des Dreiecks?
> Und wie gehe ich im Dreidimensionalen vor? Vielleicht hat
> dazu ja jemand noch eine Beispielaufgabe, ich konnte im
> Internet nichts mit Lösungen finden.
>
> Über Antworten würde ich mich freuen und bedanke mich
> vorab für jegliche Hilfe!
Hallo,
wenn du für t und s jeweils alle Werte zwischen 0 und 1 zulässt, erhältst du alle Punkt im Inneren oder auf dem Rand des von PQ und PR aufgespannten Parallelogamms.
Mit der zusätzlichen Einschränktung s+t=1 bekommst du die Strecke QR.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:33 Mi 22.07.2015 | | Autor: | poeddl |
Hallo,
vielen Dank für deine Antwort.
Ich kann mir leider nicht erklären, warum ich die Bedingung s+t=1 benötige, kann man sich das irgendwie grafisch erklären?
Und wie gehe ich vor, wenn ich ein Dreieck im Dreidimensionalen parametrisieren möchte? Ist das Vorgehen das gleiche, abgesehen davon, dass ich noch eine dritte Komponente im Vektor zu stehen habe ansonsten auch zwei Parameter s und t?
Und wenn ich jetzt eine Pyramide im 3D parametrisieren möchte, dann habe ich ja 4 Flächen, habe ich dann pro Fläche zwei Parameter, d.h. Insgesamt 8 Parameter? Oder ist das Vorgehen dann ein ganz anderes?
Viele Grüße und vielen Dank vorab!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:36 Mi 22.07.2015 | | Autor: | hippias |
Eine Moeglichkeit sich die Bedingung klarzumachen waere so: Es seien $P$, $Q$, $R$ die Eckpunkte des Dreiecks. Es ist Dir ja klar, dass zwei seiner Kanten durch $P+sPR$ und $P+tPQ$, [mm] $0\leq s,t\leq [/mm] 1$ beschrieben werden koennen. Die dritte Kante ist dementsprechend $Q+rQR$, [mm] $0\leq r\leq [/mm] 1$.
Nun ist $Q= P+PQ$ und $R=P+ PR$. Also $Q+rQR= P+PQ+r(P+ PR-P-PQ)= P+ PQ-rPQ+rPR= P+(1-r)PQ+rPR$.
Damit lassen die Kantenpunkte als Linearkombination $P+sPQ+tPR$ mit $s= 1-r$ und $t=r$ darstellen, wobei wegen [mm] $0\leq r\leq [/mm] 1$ auch [mm] $0\leq s,t\leq [/mm] 1$ gilt und ferner $s+t=1-r+r=1$ gilt.
Fuer weitere Ueberlegungen koennte es fuer Dich aber einfacher sein, die Punktmengen nicht als Ausschnitte aus affinen Raeumen aufzufassen, sondern als konvexe Menge und statt Linearkombinationen Konvexkombinationen der Eckpunkte zu betrachten.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:48 Mi 22.07.2015 | | Autor: | fred97 |
Seien P, Q und R Punkte im [mm] \IR^2 [/mm] oder im [mm] \IR^3 [/mm] (oder im [mm] \IR^n [/mm] oder in einem reellen Vektorraum) und sei [mm] \Delta [/mm] das von diesen 3 Punkten aufgespannte Dreieck [mm] (\Delta [/mm] = "Inneres" + "Rand").
Dann ist [mm] \Delta [/mm] die konvexe Hülle der Punkte P, Q und R, also
[mm] $\Delta=\{rP+sQ+tR: r,s,t \in [0,1], r+s+t=1\}.$
[/mm]
FRED
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