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Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - Parametrisierung eines Torus
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Parametrisierung eines Torus: Idee
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:20 Do 08.03.2012
Autor: Schluchti

Aufgabe
Zeigen Sie, dass die Funktion [mm] \overrightarrow{x}: \IR^{2} \to \IR^{2} [/mm] gemäß

[mm] \overrightarrow{x}(\nu, \phi) [/mm] = [mm] \pmat{x(\nu, \phi) \\ y(\nu, \phi) \\ z(\nu, \phi)} [/mm] = [mm] \pmat{(R + r * cos(\nu)) * cos(\phi) \\ (R + r * cos(\nu)) * sin(\phi) \\ r * sin(\nu)} [/mm] mit 0 [mm] \le \nu \le 2*\pi, [/mm] 0 [mm] \le \phi \le 2*\pi [/mm] als Parametrisierung der Oberfläche eines Torus angesehen werden kann. Erklären Sie diese Darstellung anhand einer geeigneten Skizze. Wie lautet die Jakobi Matrix dieser Funktion?

Hi,

irgendwie fehlt mir bei der obigen Aufgabenstellung etwas der Durchblick.
Folgendes hab ich mir dazu bisher überlegt:
Korrigiert mich, wenn ich falsch liege, aber einen Torus bekomme ich ja, wenn ich einen Kreis mit Radius r um die z-Achse rotieren lasse.
Der Einheitskreis [mm] x^{2} [/mm] + [mm] x^{2} [/mm] = 1 wird mit [mm] (cos(\alpha), sin(\alpha)) [/mm] parametrisiert. Demnach wird ein Kreis mit Radius r mit (r * [mm] cos(\alpha), [/mm] r * [mm] sin(\alpha)) [/mm] parametrisiert.
Stimmen diese Überlegungen soweit? Wenn ja, wie mache ich da weiter? Oder zäume ich das Pferd womöglich gar von der falschen Seite auf?

Vielen Dank!

        
Bezug
Parametrisierung eines Torus: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:48 Do 08.03.2012
Autor: diddy449


> Zeigen Sie, dass die Funktion [mm]\overrightarrow{x}: \IR^{2} \to \IR^{2}[/mm]
> gemäß
>  
> [mm]\overrightarrow{x}(\nu, \phi)[/mm] = [mm]\pmat{x(\nu, \phi) \\ y(\nu, \phi) \\ z(\nu, \phi)}[/mm]
> = [mm]\pmat{(R + r * cos(\nu)) * cos(\phi) \\ (R + r * cos(\nu)) * sin(\phi) \\ r * sin(\nu)}[/mm]
> mit 0 [mm]\le \nu \le 2*\pi,[/mm] 0 [mm]\le \phi \le 2*\pi[/mm] als
> Parametrisierung der Oberfläche eines Torus angesehen
> werden kann. Erklären Sie diese Darstellung anhand einer
> geeigneten Skizze. Wie lautet die Jakobi Matrix dieser
> Funktion?
>  Hi,
>  
> irgendwie fehlt mir bei der obigen Aufgabenstellung etwas
> der Durchblick.
>  Folgendes hab ich mir dazu bisher überlegt:
> Korrigiert mich, wenn ich falsch liege, aber einen Torus
> bekomme ich ja, wenn ich einen Kreis mit Radius r um die
> z-Achse rotieren lasse.
> Der Einheitskreis [mm]x^{2}[/mm] + [mm]x^{2}[/mm] = 1 wird mit [mm](cos(\alpha), sin(\alpha))[/mm]
> parametrisiert. Demnach wird ein Kreis mit Radius r mit (r
> * [mm]cos(\alpha),[/mm] r * [mm]sin(\alpha))[/mm] parametrisiert.

Ja genauso ist es im zweidimensionalen (mit [mm] 0\le\alpha<2\pi [/mm] und du meinst [mm] $x^2+y^2=1$). [/mm] Ein Kreis mit Radius r im dreidimensionalen, der auf der x,z-Ebene mit dem Mittelpunkt (0,0,0) liegt, ist demnach [mm] $(r*cos(\alpha),0,r*sin(\alpha))$ [/mm]

Jetzt überleg dir mal wie du es hinkriegst, dass der Mittelpunkt (R,0,0) ist.
Danach musst du diesen Kreis nur noch um die z-Achse rotieren lassen. Schau dir dazu an, was du durch den Kreis auf der x-z-Ebene als Parametrisierung schon hast und was noch zu der Form da oben noch fehlt (bedenke du lässt den Mittelpunkt (R,0,0) auch um die z-achse Rotieren und es ensteht ein Kreis auf der x,y-Achse.


Schau nochmal nach was die Jacobimatrix ist.


> Stimmen diese Überlegungen soweit? Wenn ja, wie mache ich
> da weiter? Oder zäume ich das Pferd womöglich gar von der
> falschen Seite auf?
>
> Vielen Dank!


Bezug
                
Bezug
Parametrisierung eines Torus: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:35 Do 08.03.2012
Autor: Schluchti


> Ja genauso ist es im zweidimensionalen (mit [mm]0\le\alpha<2\pi[/mm]
> und du meinst [mm]x^2+y^2=1[/mm]).

Stimmt, meinte natürlich [mm] x^2+y^2=1. [/mm] War ein Flüchtigkeitsfehler meinerseits!

> Ein Kreis mit Radius r im
> dreidimensionalen, der auf der x,z-Ebene mit dem
> Mittelpunkt (0,0,0) liegt, ist demnach
> [mm](r*cos(\alpha),0,r*sin(\alpha))[/mm]
>  
> Jetzt überleg dir mal wie du es hinkriegst, dass der
> Mittelpunkt (R,0,0) ist.

Das müsste ich dadurch hinkriegen, indem ich den Kreis in x-Richtung um R verschiebe. Wenn ich jetzt also alles, was ich bisher weiß, zusammensetze, dann ergibt sich folgende Teil-Parametrisierung:
[mm] \overrightarrow{x}(\nu, \phi) [/mm] = [mm] \pmat{x(\nu, \phi) \\ y(\nu, \phi) \\ z(\nu, \phi)} [/mm] = [mm] \pmat{(R + r * cos(\nu)) \\ \\ r * sin(\nu)} [/mm]

>  Danach musst du diesen Kreis nur noch um die z-Achse
> rotieren lassen.

Wenn ich den Kreis um die z-Achse rotieren lassen möchte, dann passiert das ja quasi wieder mit einer "Kreisbewegung".
Das heißt, es müsste sich dann folgendes ergeben:

[mm] \overrightarrow{x}(\nu, \phi) [/mm] = [mm] \pmat{x(\nu, \phi) \\ y(\nu, \phi) \\ z(\nu, \phi)} [/mm] = [mm] \pmat{(R + r * cos(\nu)) * cos(\phi) \\ (???) * sin(\phi) \\ r * sin(\nu)} [/mm]

Was mir jedoch noch nicht so ganz klar ist: Wie komme ich zu dem mit ??? markierten Teil? Ich glaub, ich steh da grad etwas auf der Leitung.

> Schau nochmal nach was die Jacobimatrix ist.

Die Jacobi Matrix ist eine m * n Matrix sämtlicher erster partieller Ableitungen. Wenn ich mich beim Ableiten nicht verrechne, dann bekomme ich das denke ich hin.
  


Bezug
                        
Bezug
Parametrisierung eines Torus: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:04 Do 08.03.2012
Autor: leduart

Hallo
du hast richtig den kreis in der x-z Ebene hingeschrieben, wenn du ihn jetzt mit der Matrix
[mm] D=\pmat{ cos\Phi & -sin\Phi & 0 \\ sin\Phi & cos\Phi & 1} [/mm]
drehst kommen die gedrehten Kreise raus. siehe mein Bildchen inm anderen post.
mit den Linien v=const kannst du den torus auch gut sehen.
gruss leduart

Bezug
        
Bezug
Parametrisierung eines Torus: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:54 Do 08.03.2012
Autor: leduart

Hallo
Du solltest das
a) die Kreise bei [mm] \nu=const, [/mm] verschiedene Werte
[mm] b)\phi=const [/mm] verschieden Wert ansehen.
dazu die 2 Bildchen mit a und b
[Dateianhang nicht öffentlich]
[Dateianhang nicht öffentlich]
(hergestellt mit 3D-Xploremath
Gruss leduart

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Bezug
                
Bezug
Parametrisierung eines Torus: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:24 Do 08.03.2012
Autor: Schluchti

Aaaah, jetzt hat es "klick" gemacht. :)

Vielen Dank an diddy449 und leduart!

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