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| Aufgabe | Gegeben ist ein lineares Gleichungssystem [mm] Y=X\beta [/mm] mit [mm] X=\pmat{ I_{n_1}&0&\cdots & 0 \\ 0& I_{n_2}& & \vdots\\ \vdots&&\ddots&\vdots\\ 0&0&0&I_{n_p} }.
[/mm]
Dieses lässt sich reparametrisieren, bspw. durch [mm] \mu:=\frac{1}{p}\sum_{i=1}^p\beta_i, \alpha_i:=\beta_i-\mu. [/mm] Dann ist [mm] Y=X\beta=X_1\beta_1, [/mm] mit [mm] X_1=\pmat{ I_{n_1}&I_{n_1}&0&\cdots & 0 \\ \vdots&0& I_{n_2}& & \vdots\\ \vdots& \vdots&&\ddots&\vdots\\ I_{n_p}&0&0&0&I_{n_p} } [/mm] und [mm] \beta_1=\vektor{\mu \\ \alpha_1\\ \vdots\\ \alpha_p}.
[/mm]
Für die Schreibweise in Index-Notation ergibt sich [mm] Y_{ij}=\mu+\alpha_i, [/mm] 1<=i<=p und [mm] 1<=j<=n_i [/mm] |
Hallo miteinander,
"Es sei ein lineares Gleichungssystem [mm] Y_{ij}=\beta_i, \beta_i\in\IR, [/mm] i=1,..,p, [mm] j=1,..,n_i [/mm] und der Basis [mm] (q_1,..,q_p) [/mm] gegeben. Für [mm] \beta [/mm] gilt also [mm] \beta=\sum_{i=1}^p\beta_i q_i. [/mm]
Vielmehr interessieren nicht so sehr die einzelnen [mm] \beta_i [/mm] als vielmehr der mittlere Effekt [mm] \hat{\mu} [/mm] und die Effekte [mm] \alpha_i=\beta_i-\hat{\mu}. [/mm] Deshalb schreiben wir auch [mm] \beta=\hat{\mu} q_{\bullet\bullet}+\sum_{i=1}^p\alpha_i q_i [/mm] "
Dieser Text übersetzt in die Asführungen im Aufgabenteil bedeutet [mm] \hat{\mu}\hat=\mu [/mm] und [mm] q_{\bullet\bullet}\hat=X_1[ [/mm] ,1], d.h. der ersten Spalte von [mm] X_1.
[/mm]
"Es soll gelten [mm] q_{\bullet\bullet}^T(\sum_{i=1}^p\alpha_i q_i)=\sum_{j=1}^p(\sum_{i=1}^p\alpha_i q_i)_j=0 [/mm] "
Angenommen die Basis besteht aus Vektoren deren Elemente 0 oder 1 sind. [mm] \sum_{i=1}^p\alpha_i=0 [/mm] gilt per Definition. Dann kann ich mir vorstellen das [mm] \sum_{i=1}^p \alpha_i n_i=0 [/mm] gilt falls [mm] n_i [/mm] für alle i gleich sind. Aber so wirklich weiß ich nicht was damit gemeint ist.
-Gilt die Orthogonalität wg der Definition von [mm] \alpha_i [/mm] auch allgemein?
-Wie Paramtrisiert man ein Gleichungssystem wenn da steht [mm] Y_{ijk}=\beta_{ij}, \beta_{ij}=\mu+\alpha_i+\gamma_j, [/mm] i=1,..,p , [mm] j=1,..,n_i [/mm] und [mm] k=1,..,n_{ij}
[/mm]
ist dann automatisch: [mm] \mu=\frac{1}{pn_i}\sum_{i,j=1}^{p,n_i}(\beta_{ij}), \mu_i=\frac{1}{n_i}\sum_{j=1}^{n_i}(\beta_{ij}) [/mm] und [mm] \alpha_i=\beta_{ij}-\mu-\mu_i [/mm] etc?
-Gibt es für die Parametrisierung ein kompakteres Schema?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 So 14.10.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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