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(Frage) überfällig  | | Datum: | 22:22 Do 20.01.2011 | | Autor: | skoopa |
| Aufgabe | Sei [mm] \Omega\subset\IR^{n} [/mm] ein Gebiet, [mm] K\subset\Omega [/mm] kompakte, nichtleere Teilmenge mit positivem Abstand [mm] \delta_{K} [/mm] zum Rand von Omega.
Sei weiter [mm] 0<\delta\le\delta_{K}, [/mm] d(x)=dist(x,K) die Abstandsfunktion und [mm] h(t)=\begin{cases} 1, t<\bruch{1}{3}\delta \\ 2-\bruch{3}{\delta}t, \bruch{1}{3}\le t\le\bruch{2}{3}\delta \\ 0, t>\bruch{2}{3}\delta \end{cases} [/mm] und f(x)=h(d(x)).
Außerdem ist [mm] \psi\ge [/mm] 0 eine [mm] \infty [/mm] -oft differenzierbare Funktion mit kompaktem Träger auf [mm] \IR^{n} [/mm] und mit den Eigenschaften
[mm] \integral_{\IR^{n}}^{}{\psi(x) dx} [/mm] =1 und [mm] \psi(x)=0 [/mm] für [mm] \parallel x\parallel>1.
[/mm]
Zeigen Sie:
[mm] \phi_{\delta}:\Omega\to\IR [/mm] mit [mm] \phi_{\delta}(x)=(\bruch{6}{\delta})^{n}\integral_{\IR^{n}}^{}{f(y)\psi(6*\bruch{x-y}{\delta})dy} [/mm] ist eine beliebig oft differenzierbare Funktion mit kompaktem Träger auf [mm] \Omega. [/mm] |
HeyHey!
Ich bräuchte etwas Hilfe bei diesem Beweis.
Um die Aussage zu beweisen würde ich gerne einen Satz über Parameterintegrale verwenden, der mir die Aussage dann liefert. Mein Problem ist nur, dass ich eine Vorraussetzung des Satzes nicht gezeigt bekomme.
Die mir fehlende Eigenschaft ist:
[mm] \exists g:\IR^{n}\to\IR [/mm] mit g ist L-integrierbar auf [mm] \IR^{n}, [/mm] sodass [mm] \parallel \Delta_{x} f(y)\psi(6*\bruch{x-y}{\delta})\parallel \le [/mm] g(y) [mm] \forall x\in\Omega [/mm] und für fast alle [mm] y\in K_{\bruch{2}{3}}.
[/mm]
Wobei [mm] \Delta [/mm] den Nablaoperator bezeichnet. Weiß leider nicht wie man den teXt...
Also ich habe bisher gezeigt, dass [mm] h(x,y)=f(y)\psi(6*\bruch{x-y}{\delta} [/mm] beliebig oft differenzierbar ist und dass gilt:
[mm] \parallel h(x,y)\parallel \le\parallel \Delta_{x}\psi(6*\bruch{x-y}{\delta})\parallel.
[/mm]
Jetzt brauch ich nur noch eine L-integrierbare Majorante für das. Aber hier weiß ich irgendwie nciht weiter. Stehe grad ziemlich aufm Schlauch.
Kann mir irgendjemand da draußen vielleicht helfen und mir einen Tipp geben oder mir eine geeignete Majorante sagen?
Das wär so super!
Danke schonmal, dass ihr euch diesen Text überhaupt angetan habt 
Grüße!
skoopy
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:20 Sa 22.01.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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