Parameteraufgabe < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben ist die Funktion fa (x)=(a-x)(x2+4x+4) mit
a [mm] \in \IR, [/mm] D [mm] =\IR.
[/mm]
1.1. Ermitteln Sie das Intervall, in dem fa [mm] \ge [/mm] 0 ist.
1.2. Bestimmen Sie die Anzahl der Extremstellen der Funktion fa in Abhängigkeit von a. Mögliches Teilergebnis: fa'(x)=-1/8(3x2+(8-2a)x-4a+4) |
Also meine Frage zu der ersten oben genannter Aufgabe ist, wie genau ich dieses gesuchte Intervall ermitteln kann. Also [mm] \ge [/mm] bedeutet ja, dass sich der Graph oberhalb der X-Achse befinden muss, richtig?
Durch eine Zeichnung würde sich das Intervall ja ganz leicht bestimmen lassen aber wie könnte man das rechnerisch bestimmen?
Und meine Frage zur zweiten Teilaufgabe:
Ich habe die Funktion erstmal ausmultipliziert und folgendes ist dabei rausgekommen:
fa[mm] '(x)=1/4ax+1/2a-3/8x^2-x-1/2. [/mm] Kann das stimmen und wie komme ich von dieser Funkltionsgleichung auf das mögliche Teilergebnis und wie kann ich dann mit solch einer Gleichung die Extremwerte berechnen. Mit Polynomdivision?
Bin über jede Hilfe dankbar.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:57 So 11.03.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo Christin und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Gegeben ist die Funktion fa
> (x)=(a-x)(x2+4x+4) mit
> a [mm]\in \IR,[/mm] D [mm]=\IR.[/mm]
>
> 1.1. Ermitteln Sie das Intervall, in dem fa [mm]\ge[/mm]
> 0 ist.
> 1.2. Bestimmen Sie die Anzahl der Extremstellen der
> Funktion fa in Abhängigkeit von a. Mögliches
> Teilergebnis:
> fa'(x)=-1/8(3x2+(8-2a)x-4a+4)
> Also meine Frage zu der ersten oben genannter Aufgabe ist,
> wie genau ich dieses gesuchte Intervall ermitteln kann.
> Also [mm]\ge[/mm] bedeutet ja, dass sich der Graph oberhalb der
> X-Achse befinden muss, richtig?
Korrekt.
> Durch eine Zeichnung würde sich das Intervall ja ganz
> leicht bestimmen lassen aber wie könnte man das rechnerisch
> bestimmen?
Indem du die Nullstellen ermittelst, und dann die Intervalle zwischen den Nullstellen betrachtest. Die Nullstellen sind ja die "Übergangsstellen" für f(x).
>
> Und meine Frage zur zweiten Teilaufgabe:
> Ich habe die Funktion erstmal ausmultipliziert und
> folgendes ist dabei rausgekommen:
> fa[mm] '(x)=1/4ax+1/2a-3/8x^2-x-1/2.[/mm] Kann das
> stimmen und wie komme ich von dieser Funkltionsgleichung
> auf das mögliche Teilergebnis und wie kann ich dann mit
> solch einer Gleichung die Extremwerte berechnen. Mit
> Polynomdivision?
>
Das geht mit der p-q-Formel.
[mm] 1/4ax+1/2a-3/8x^2-x-1/2
[/mm]
[mm] =-\bruch{3}{8}x²+\bruch{1}{4}ax-x+\bruch{1}{2}a-\bruch{1}{2}
[/mm]
[mm] =-\bruch{3}{8}x²+(\bruch{1}{4}a-1)x+\bruch{1}{2}a-\bruch{1}{2}
[/mm]
[mm] =-\bruch{3}{8}x²+(\bruch{2a-8}{8})x+\bruch{4a-4}{8}
[/mm]
[mm] (=\bruch{-1}{8}(3x²-(2a-8)x-(4a-4))
[/mm]
Und jetzt die Nullstellen hiervon berechnen:
3x²-(2a-8)x-(4a-4)=0
[mm] \gdw x²\underbrace{-\bruch{2a-8}{3}}_{p}x\underbrace{-\bruch{4a-4}{3}}_{q}=0
[/mm]
Marius
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Ach mir ist grad aufgefallen, dass ich bei der gegebenen Funktion die 1/8 vor der ersten Klammer vergessen hab.
Aber der Lösungsweg bleibt ja derselbe. 
Nochmals vielen Dank für die schnelle und sehr hilfreiche Antwort.
Hab mir das mit der NST-Berechnung und anschließenden Intervall-Betrachtung zwischen den NST gedacht aber bin mir immer noch nicht ganz im Klaren darüber, wie ich da vorgehe.?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:26 So 11.03.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Ach mir ist grad aufgefallen, dass ich bei der gegebenen
> Funktion die 1/8 vor der ersten Klammer vergessen hab.
>
> Aber der Lösungsweg bleibt ja derselbe.
>
> Nochmals vielen Dank für die schnelle und sehr hilfreiche
> Antwort.
> Hab mir das mit der NST-Berechnung und anschließenden
> Intervall-Betrachtung zwischen den NST gedacht aber bin mir
> immer noch nicht ganz im Klaren darüber, wie ich da
> vorgehe.?
Also, du hast drei Nullstellen [mm] (f_{a}(x)ist [/mm] ja eine Funktion dritten Grades) [mm] x_{1}, x_{2} [/mm] und [mm] x_{3}.
[/mm]
Jetzt schaust du dir die Funktion in den Intervallen [mm] I_{1}=(-\infty;x_{1}), I_{2}=(x_{1};x_{2}), I_{3}=(x_{2};x_{3}), I_{4}=(x_{3};\infty) [/mm] an.
Das machst du, indem du je einen Wert einsetzt, und dann schaust, ob [mm] f_{a}(x)>oder< [/mm] als 0 ist (=0 kann nicht sein, da du ja keine weitere Nullstelle hast.
Hilft das erstmal weiter?
Marius
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:59 So 11.03.2007 | | Autor: | Chrissi84 |
Ah, ja DANKE. Das hilft mir sehr weiter. Also ist es eigentlich genauso, wie wenn man die Monotonie-intervalle (mittels der ersten Ableitung) betrachtet und dann sagen kann, ob die Funktion eben in diesem Intervall monoton fallend oder monoton steigend ist.
Nehme ich also jetzt auch die erste Ableitung und überprüfe die Funktion in diesem Intervall auf Extrema?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:10 So 11.03.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Die Extremwerte kannst du "global" betrachten.
Marius
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Das geht mit der p-q-Formel.
$ [mm] 1/4ax+1/2a-3/8x^2-x-1/2 [/mm] $
$ [mm] =-\bruch{3}{8}x²+\bruch{1}{4}ax-x+\bruch{1}{2}a-\bruch{1}{2} [/mm] $
$ [mm] =-\bruch{3}{8}x²+(\bruch{1}{4}a-1)x+\bruch{1}{2}a-\bruch{1}{2} [/mm] $
$ [mm] =-\bruch{3}{8}x²+(\bruch{2a-8}{8})x+\bruch{4a-4}{8} [/mm] $
$ [mm] (=\bruch{-1}{8}(3x²-(2a-8)x-(4a-4)) [/mm] $
Und jetzt die Nullstellen hiervon berechnen:
3x²-(2a-8)x-(4a-4)=0
$ [mm] \gdw x²\underbrace{-\bruch{2a-8}{3}}_{p}x\underbrace{-\bruch{4a-4}{3}}_{q}=0 [/mm] $
Hallo, ich hab gestern noch ewig versucht, die Extremstellen zu berechnen. Wie man nun auf das Teilergebnis kommt, hab ich soweit verstanden, aber ich versteh nicht so ganz weshalb man die -1/8 vor der Klammer einfach so weglassen kann. Ich hab folgende Extremstellen der Funktion fa ausgerechnet:
xE1[mm] =\bruch-{2+4a}{3}
[/mm]
xE2=-2-2a
Kann mir jemand bitte sagen, was ich da falsch gamacht habe, weil meiner Meinung nach, kann das Ergebnis nicht richtig sein. Ich hab die Kurvenschar per Programm zeichnen lassen, wobei ich a von 0 bis 2 gewählt hab und wenn ich nun in die Extremstellen für a 1 oder 2 einsetze,stimmt es mit dem Graphen nicht überein.
Wär echt super, wenn mir da jemand helfen könnte.
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Hallo Chrissi84 und ,
> Das geht mit der p-q-Formel.
>
> [mm]1/4ax+1/2a-3/8x^2-x-1/2[/mm]
>
> [mm]=-\bruch{3}{8}x²+\bruch{1}{4}ax-x+\bruch{1}{2}a-\bruch{1}{2}[/mm]
>
> [mm]=-\bruch{3}{8}x²+(\bruch{1}{4}a-1)x+\bruch{1}{2}a-\bruch{1}{2}[/mm]
> [mm]=-\bruch{3}{8}x²+(\bruch{2a-8}{8})x+\bruch{4a-4}{8}[/mm]
> [mm](=\bruch{-1}{8}(3x²-(2a-8)x-(4a-4))[/mm]
>
> Und jetzt die Nullstellen hiervon berechnen:
>
> 3x²-(2a-8)x-(4a-4)=0
> [mm]\gdw x²\underbrace{-\bruch{2a-8}{3}}_{p}x\underbrace{-\bruch{4a-4}{3}}_{q}=0[/mm]
>
>
> Hallo, ich hab gestern noch ewig versucht, die
> Extremstellen zu berechnen. Wie man nun auf das
> Teilergebnis kommt, hab ich soweit verstanden, aber ich
> versteh nicht so ganz weshalb man die -1/8 vor der Klammer
> einfach so weglassen kann. Ich hab folgende Extremstellen
> der Funktion fa ausgerechnet:
>
> xE1[mm] =\bruch{-(2+4a)}{3}[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
>
> xE2=-2-2a
>
da du uns deinen Rechenweg nicht verrätst, können wir auch nicht annähernd ahnen, wo bei dir die Fehler liegen. ![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]")
>
> Kann mir jemand bitte sagen, was ich da falsch gamacht
> habe, weil meiner Meinung nach, kann das Ergebnis nicht
> richtig sein. Ich hab die Kurvenschar per Programm zeichnen
> lassen, wobei ich a von 0 bis 2 gewählt hab und wenn ich
> nun in die Extremstellen für a 1 oder 2 einsetze,stimmt es
> mit dem Graphen nicht überein.
>
> Wär echt super, wenn mir da jemand helfen könnte.
[mm]\gdw x²\underbrace{-\bruch{2a-8}{3}}_{p}x\underbrace{-\bruch{4a-4}{3}}_{q}=0[/mm]
die  p-q-Formel kennst du doch sicher?
Dann setz doch einfach mal die beiden Terme ein:
[mm] p=-\bruch{2a-8}{3} [/mm] und [mm] q=-\bruch{4a-4}{3}
[/mm]
[mm] x_{1,2}=-\frac{p}{2}\pm\wurzel{(\frac{p}{2})^2-q}
[/mm]
[mm] x_{1,2}=-\frac{-(2a-8)}{3*2}\pm\wurzel{(\frac{p}{2})^2-(-\bruch{4a-4}{3})}
[/mm]
Jetzt erstmal kürzen, Minuszeichen zusammenfassen, binomische Foreln anwenden und Wurzelziehen.
Kontrolle: [mm] x=\frac{2a-2}{3} [/mm] oder x=-2
Gruß informix
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Ja ich weiß ja wie ich mit der p-q-Formel umgehen muss-ist mir wirklich mehr als bekannt.
Nur weiß ich nicht warum die [mm] -\bruch{1}{8}, [/mm] die vor der Klammer stehen, einfach weggelassen werden.? Kann mir das jemand erklären. Ich muss wohl irgendwas mit den Vorzeichen bei der P-q-Formel falsch gemacht haben.
Auf jeden Fall, danke ich für die schnelle Antwort.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:28 Mo 12.03.2007 | | Autor: | cReam |
Hab die ganzen Artikel mal schnell überflogen und hoffe dir nun helfen zu können:
Da du ja die Extrema haben willst setzt du die erste Ableitung gleich Null. Da bekommst du dann den Term mit -1/8 (....)=0 raus.
Nun, wann wird denn ein Produkt 0? Wenn einer der Teile 0 wird. Das sollte die Antwort sein, oder?
Grüße cReam
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Ja genau!!! Warum bin ich denn da nicht gleich drauf gekommen?
Wahrscheinlich, weil unser Mathe-Lehrer immer meint, wir sollen die Funktionsgleichung erst in die Polynomform überführen.?
Vielen Dank für deinen sehr hilfreichen Hinweis!!!
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Hallo Chrissi84,
> Ja genau!!! Warum bin ich denn da nicht gleich drauf
> gekommen?
> Wahrscheinlich, weil unser Mathe-Lehrer immer meint, wir
> sollen die Funktionsgleichung erst in die Polynomform
> überführen.?
>
Vorsicht:
beim untersuchen der Funktionsgleichung musst du solche Vorfaktoren immer mitschleppen.
Nur beim Aufsuchen der Nullstellen, also f(x)=0, kannst du den Vorfaktor außen vor lassen, wie cReam schon geschrieben hat.
Gruß informix
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
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Danke für die Info.
Ich hab die p-q-Formel jetzt nochmal durchgerechnet. Für a=0 stimmen die Extremstellen mit dem Graphen überein, aber für a=1 und a=2 nicht. Kann mir jemand sagen wieso? Wo liegt mein Fehler in der Rechnung?
$x=-\bruch{(8-2a)}{(6)}\pm\wurzel{\bruch{(8-2a)}{(3)}^2-\bruch{(-4a+4)}{3}}$
$=-\bruch{(8-2a)}{(6)}\pm\wurzel{\bruch{(64-32a+4a2Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
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)}{36}+\bruch{4a-4}{3}}$
$=-\bruch{(8-2a)}{(6)}\pm\wurzel{\bruch{16+16a+4a2Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
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}{(36)}}$
$=-\bruch{8+2a}{6}\pm\bruch{4+4a+2a}{6}$
$xE1[mm] =-\bruch{4+8a}{6}$
[/mm]
$xE2[mm] =\bruch{-12-4a}{6}$
[/mm]
So, man war das ein Akt, dass alles so einzugeben. Hoffe es klappt jetzt auch und man kann es ordentlich lesen.
Wär echt toll, wenn sich jemand mal die Rechnung anguckt und mir sagt, wo mein Fehler liegt.!!!
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Hallo Chrissi84,
> Danke für die Info.
>
> Ich hab die p-q-Formel jetzt nochmal durchgerechnet. Für
> a=0 stimmen die Extremstellen mit dem Graphen überein, aber
> für a=1 und a=2 nicht. Kann mir jemand sagen wieso? Wo
> liegt mein Fehler in der Rechnung?
>
> [mm]x=-\bruch{(8-2a)}{(6)}\pm\wurzel{\bruch{(8-2a)}{(3)}^2-\bruch{(-4a+4)}{3}}[/mm]
schon hier geht's los: unter der Wurzel müsste der erste Nenner [mm] 6^2 [/mm] und nicht 3 sein, außerdem solltest du den Bruch in Klammern setzen, bevor du quadrierst:
[mm]x=-\bruch{8-2a}{6}\pm \wurzel{(\bruch{8-2a}{6})^2-\bruch{-4a+4}{3}}[/mm]
>
> [mm]=-\bruch{(8-2a)}{(6)}\pm\wurzel{\bruch{(64-32a+4a[sup]2[/sup])}{36}+\bruch{4a-4}{3}}[/mm]
>
> [mm]=-\bruch{(8-2a)}{(6)}\pm\wurzel{\bruch{16+16a+4a[sup]2[/sup]}{(36)}}[/mm]
"Aus Differenz und Summen kürzen/wurzeln nur die ...." 
Den Spruch solltest du kennen...
>
> [mm]=-\bruch{8+2a}{6}\pm\bruch{4+4a+2a}{6}[/mm]
Was hast du denn hier zusammengefasst?!
>
> [mm]x[sub]E1[/sub]=-\bruch{4+8a}{6}[/mm]
>
> [mm]x[sub]E2[/sub]=\bruch{-12-4a}{6}[/mm]
>
>
> So, man war das ein Akt, dass alles so einzugeben. Hoffe es
> klappt jetzt auch und man kann es ordentlich lesen.
Setze die Formeln stets zwischen zwei $-Zeichen (am Anfang und am Ende), dann entdeckt der Server schneller Schreibfehler..
>
> Wär echt toll, wenn sich jemand mal die Rechnung anguckt
> und mir sagt, wo mein Fehler liegt.!!!
ich hatte dir mit gutem Grund empfohlen, erst zu kürzen! ...
[mm] \bruch{(8-2a)}{(6)}=\bruch{4-a}{3}
[/mm]
[mm]=-\bruch{4-a}{3}\pm\wurzel{\bruch{16-8a+a^2}{9}+\bruch{3(4a-4)}{3*3}}[/mm]
[mm]=-\bruch{4-a}{3}\pm\wurzel{\bruch{4+4a+a^2}{9}}[/mm]
[mm]=-\bruch{4-a}{3}\pm\bruch{a+2}{3}[/mm]
Gruß informix
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[mm]=-\bruch{4-a}{3}\pm\wurzel{\bruch{4+4a+a^2}{9}}[/mm]
[mm]=-\bruch{4-a}{3}\pm\bruch{a+2}{3}[/mm]
Vielen vielen Dank für Ihre Hilfe!!!
Irgendwie hab ich echt ein Problem mit Parametern - diese Buchstaben in den Gleichungen verwirren mich irgendwie.
Nun hab ich noch eine letzte Frage:
Wenn Sie zum Schluß die Wurzel ziehen, warum steht da nicht:
[mm] \pm \bruch{2+2a+a}{3}?
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:03 Mo 12.03.2007 | | Autor: | hase-hh |
moin,
> [mm]=-\bruch{4-a}{3}\pm\wurzel{\bruch{4+4a+a^2}{9}}[/mm]
>
> [mm]=-\bruch{4-a}{3}\pm\bruch{a+2}{3}[/mm]
>
> Nun hab ich noch eine letzte Frage:
>
> Wenn Sie zum Schluß die Wurzel ziehen, warum steht da
> nicht:
>
> [mm]\pm \bruch{2+2a+a}{3}?[/mm]
weil man die wurzel nicht aus einzelnen summanden ziehen kann!
[mm] \wurzel{16} [/mm] + [mm] \wurzel{9} \ne \wurzel{16+9}
[/mm]
[mm] \wurzel{16} [/mm] + [mm] \wurzel{9} \ne \wurzel{25}
[/mm]
4 + 3 [mm] \ne [/mm] 5.
aber teilweise die wurzel kann man aus einem produkt ziehen.
man kann z.b. aus zähler und nenner die wurzel getrennt ziehen.
für den zähler sieht es hier so aus:
4 + 4a + [mm] a^2 [/mm] entspricht einer binomischen formel
[mm] (a+b)^2 [/mm] = [mm] a^2 [/mm] + 2ab + [mm] b^2
[/mm]
[mm] 2^2 [/mm] + 2*a*2 + [mm] a^2 [/mm] = [mm] (2+a)^2 [/mm]
und daraus kann ich die wurzel ziehen:
[mm] \wurzel{ (2+a)^2 } [/mm] = 2+a
alles roger?
gruß
wolfgang
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:23 Mo 12.03.2007 | | Autor: | Chrissi84 |
Ja, habs jetzt einigermaßen verstanden. Hatte sonst noch nie Probleme mit der p-q-Formel, aber das Umwandeln in die binomische Formel war mir neu.
Aber trotzdem vielen Dank auch Dir bzw.Ihnen.
Hoffe ich muss nicht noch öften mit so banalen Fragen kommen.:-(
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