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Parameter bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:22 Di 02.12.2003
Autor: Ute

Die quadratische Funktion f mit dem Term f(x)=ax²+bx+c hat die Punkte (4 | 0), (8|4) und (14 | 2,5). Bestimme a, b und c

1.
y= ax² + bx +c
0= a*4² + b*4 + c
0= 16 a + 4b +c


2.
4= a*8² + b*8 +c
4=64a + 8b +c



3.
2,5= a*14²  + b*14+c
2,5 = 196a+14b+c


Erste minus zweite Gleichung (Subtraktionsverfahren)=

-4= -48a - 4b

Wie geht's nun weiter, dass irgendwie auf einer Seite keine 2 Unbekannte mehr stehen?

        
Bezug
Parameter bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:15 Di 02.12.2003
Autor: ministel

Hallo Ute!

Du hast doch noch deine dritte Gleichung, die du weiter verwenden kannst. Ich würde zur Lösung das Gaussverfahren vorschlagen, falls du das kennst. Sonst gehts aber auch ganz einfach mit Zeilenumformungen und durch Zusammenfassen (obwohl das Verfahren natürlich auch nichts anderes ist).

Du hast ja:

16a + 4b + c = 0
64a + 8b + c = 4
196a + 14b + c = 2,5

Jetzt addierst (bzw. subtrahierst) du jeweils ein solches Vielfaches von deiner ersten Zeile zu der zweiten (in dem Fall erste Zeile mal -4 und dann addieren) und der dritten (in dem Fall dann mal -49/4 und dann addieren), sodass sich dein a ganz "rauslöscht":

16a + 4b + c = 0
0a - 8b - 3c = 4
0a - 35b - 45/4 c = 2,5

Und jetzt verfährt man so genauso bei der zweiten und dritten Zeile (multiplizieren mit -35/8 und dann addieren).

16a + 4b + c = 0
0a - 8b - 3c = 4
0a + 0b + 15/8 c = 2,5

Und so kannst du dann ganz einfach auflösen, und es käme, falls alles richtig ist, heraus:
c = 4/3, b = -1, a = 8/3

Alles klar? :-)

Bezug
                
Bezug
Parameter bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:35 Di 02.12.2003
Autor: Ute

ist das das sogenannte gauss-verfahren?
ich kenn das nämlich nicht mit dem -4 addieren und multiplizieren. warum ist das so?
und wie kommt man auf die -49/4?

Bezug
                        
Bezug
Parameter bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:28 Di 02.12.2003
Autor: Youri

Hallo Ute -

Ministel hat Dir ja schon ausführlich geantwortet.

Sinnvoll ist es immer, sich das komplette Gleichungssystem geordnet untereinander aufzuschreiben.

16a + 4b + c = 0
64a + 8b + c = 4
196a + 14b + c = 2,5

Dann gehst Du am besten systematisch vor.
Zunächst könntest Du zum Beispiel aus den beiden letzten Gleichungen das "c" entfernen => Du subtrahierst die erste Gleichung jeweils von der zweiten und dritten:

16a   +  4b + c = 0
48a   +  4b       = 4
180a + 10b       = 2,5

Nun erkennst Du in Gleichung II und III ein System mit zwei Unbekannten.
Dann setzt Du Dein Vorgehen fort.
Du entfernst eine der beiden Variablen aus einer Gleichung, indem Du ein Vielfaches der einen Gleichung zu einem Vielfachen der anderen addierst...
in diesem Fall würde ich die Gleichung II mit (-2.5) multiplizieren.

16a  +  4b   + c  = 0
-120a  - 10b       = -10
180a  +  10b      = 2.5  | II + III

16a  +  4b  +  c  = 0
-120a  -  10b      =  -10
60a                     =-7.5


Nun kannst Du Schritt für Schritt lösen ...

III. a = -1/8

=> II.
15 - 10b = -10
b=  2.5

=> I.

-2 + 10 + c = 0
c = -8          

L= {-1/8; 5/2; -8}

Liebe Grüsse,
Andrea.


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