Parallelogramm beweisen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:32 Mi 10.11.2010 | | Autor: | Boki87 |
| Aufgabe | | Die Punkte A(2|0|-1), B(5|6|-10), C(-6|4|-1) und D(-9|-2|8) sind die Eckpunkte eines Parallelogramms. Überprüfen Sie rechnerisch, ob der Punkt P(1|8|-10) im Innern des Parallelogramms liegt. |
So nun zu meiner Frage:
Ich meine, dass die Punkte kein Parallelogramm darstellen. Denn wenn ich die Vektoren: [mm] \overrightarrow{AB} \vektor{3 \\ 6\\-9}, \overrightarrow{AC}\vektor{-8 \\ 4\\6} [/mm] und [mm] \overrightarrow{AD} \vektor{-11\\ -2\\9} [/mm] auf lineare Abhängikeit prüfe, erhalte ich, dass sie linear unabhängig sind. Somit liegt doch das Parallelogramm nicht auf einer Ebene und ob der Punkt P darauf liegt hängt doch dann von der Perspektive ab?
Als Lösung wurde im Unterricht angegeben:
Der Punkt liegt nicht auf dem Parallelogramm, da man, wenn man ihn in so darstellt: P = m* [mm] \overrightarrow{AB} [/mm] +n* [mm] \overrightarrow{AD} [/mm] für m und n Werte größer 1 erhält.
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Hallo Boki!
Dein Vektor [mm] $\overrightarrow{AC}$ [/mm] ist nicht korrekt (3 Komponente).
Und wenn alle Punkte in eine Ebene liegen, hast Du noch nicht nachgewiesen, ob es sich um ein Parallelogramm handelt.
Untersuche / vergleiche dafür die Vektoren [mm] $\overrightarrow{AB}$ [/mm] und [mm] $\overrightarrow{CD}$ [/mm] sowie [mm] $\overrightarrow{BC}$ [/mm] und [mm] $\overrightarrow{AD}$ [/mm] .
Sind diese jeweils paarweise kollinear und auch gleichlang?
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:07 Mi 10.11.2010 | | Autor: | Boki87 |
Hallo,
Danke für deine schnelle Antwort.
Der Vektor [mm] \overrightarrow{AD} [/mm] ist doch korrekt oder?
[mm] \vektor{-9-2 \\ -2 -0\\ 8--1}
[/mm]
Wenn ich zeige, dass die 4 Punkte nicht auf einer Ebene liegen, habe ich doch bereits ausgeschlossen, dass es sich um ein Parallelogramm handelt oder?
Die 4 Punkte liegen doch nicht in einer Ebene oder habe ich mich verrechnet?
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> Der Vektor [mm]\overrightarrow{AD}[/mm] ist doch korrekt oder?
> [mm]\vektor{-9-2 \\ -2 -0\\ 8--1}[/mm]
Ja, dieser schon, aber [mm] \overrightarrow{AC} [/mm] nicht !
> Wenn ich zeige, dass die 4
> Punkte nicht auf einer Ebene liegen, habe ich doch bereits
> ausgeschlossen, dass es sich um ein Parallelogramm handelt
> oder?
Das wäre schon der Fall, falls dieser Fall wirklich der Fall wäre 
> Die 4 Punkte liegen doch nicht in einer Ebene oder habe ich
> mich verrechnet?
Man kann leicht zeigen, dass sie ein Parallelogramm bilden,
und damit liegen sie auch zwangsläufig in einer gemeinsamen
Ebene.
Verrechnet hast du dich bei der z-Komponente des Vektors [mm] \overrightarrow{AC} [/mm] !
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:43 Mi 10.11.2010 | | Autor: | Boki87 |
Hi,
Hat sich damit geklärt danke nochmal!
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