Parabelaufgabe < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Ein Brückenbogen hat die Form eines Parabelbogens. Die Spannweite der Brücke beträgt 18m, die Scheitelhöhe 8m über dem Boden. Wähle ein gutes Koordinatenkreuz und bestimme mit 3 Punkten des Brückenbogesn die zugehörige quatratische Funktion. |
Hallo,
also ich tue mich schwer bei dieser Aufgabe und ich hoffe ihr könnt mir helfen. Ich habe mir das so vorgestellt:
Die Spannweite ist ja 18m, und die Parabel ist quasi "umgedreht" weil es eine Brücke ist. Von der Mitte der Parabel bis zum höchsten Punkt misst man also die 8m, denn der Scheitelpunkt ist der höchste Punkt der Brücke!
soweit richtig?
jetzt kommt mein problem: ich weiß nicht, wie ich das umsetzen soll in eine funktion, also mir fehlt der ansatz, ich weiß auch nicht, was das mit den 3 punkten soll..
Ich wäre froh, wenn ihr mir helft.
Danke im vorraus,
informacao
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:25 Mo 16.10.2006 | | Autor: | Informacao |
hi, also ich hab da leider nichts brauchbares gefunden  danke trotzdem
viele grüße
informacao
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:31 Mo 16.10.2006 | | Autor: | hase-hh |
moin,
dann schauen wir mal voraus:
soweit richtig.
eine parabel hat allgemein die form:
[mm] y=ax^2 [/mm] +bx +c
um a,b,c bestimmen zu können brauchen wir drei punkte.
wenn wir die spannweite als x-achse nehmen, dann können wir leicht drei punkte angeben.
1. den scheitelpunkt, er hat die koordinaten S [mm] (\bruch{18}{2}=9 [/mm] / 8)
2. den anfangspunkt der brücke A(0/0)
3. den endpunkt der brücke B(18/0)
wenn ich diese punkte in die allg. parabelgleichung einsetze, erhalte ich:
I. [mm] 0=a*0^2 [/mm] +b*0 +c => c=0
II. [mm] 0=a*18^2 [/mm] +b*18 +c
aber wir wissen ja bereits, dass c=0 ist, also
II. 0=324a +18b
III. [mm] 8=a*9^2 [/mm] + b*9 [+c... aber da c=0 ist, können wir es hier weglassen]
nun löse ich die II. gleichung nach b auf
b=-18a
und setze das ergebnis in die III. gleichung ein
8=81a-162a
8=-81a
a= [mm] -\bruch{8}{81}
[/mm]
=> b= [mm] \bruch{16}{9}
[/mm]
die gesuchte gleichung lautet also:
[mm] y=-\bruch{8}{81}x^2 [/mm] + [mm] \bruch{16}{9}x
[/mm]
scheitelpunktdarstellung
[mm] y=-\bruch{8}{81}x^2 [/mm] + [mm] \bruch{144}{81}x
[/mm]
[mm] y=-\bruch{8}{81} [/mm] * [mm] (x^2 [/mm] - 18x)
[mm] y=-\bruch{8}{81} [/mm] * [mm] (x^2 [/mm] - 2*x*9 [mm] +9^2 -9^2)
[/mm]
[mm] y=-\bruch{8}{81} [/mm] * [mm] (x^2 [/mm] - [mm] 9)^2 -\bruch{8}{81}*(-9^2)
[/mm]
und schon habe ich die scheitelpunktsform, als kleine probe 
[mm] y=-\bruch{8}{81} [/mm] * [mm] (x^2 [/mm] - [mm] 9)^2 [/mm] +8
gruss
wolfgang
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hi, super danke! ich habe FAST alles verstanden. eins ist mir noch unklar...also weiter unten:
> moin,
>
> dann schauen wir mal voraus:
>
> soweit richtig.
>
> eine parabel hat allgemein die form:
>
> [mm]y=ax^2[/mm] +bx +c
>
> um a,b,c bestimmen zu können brauchen wir drei punkte.
>
> wenn wir die spannweite als x-achse nehmen, dann können wir
> leicht drei punkte angeben.
>
> 1. den scheitelpunkt, er hat die koordinaten S
> [mm](\bruch{18}{2}=9[/mm] / 8)
>
> 2. den anfangspunkt der brücke A(0/0)
>
> 3. den endpunkt der brücke B(18/0)
>
> wenn ich diese punkte in die allg. parabelgleichung
> einsetze, erhalte ich:
>
> I. [mm]0=a*0^2[/mm] +b*0 +c => c=0
>
> II. [mm]0=a*18^2[/mm] +b*18 +c
>
> aber wir wissen ja bereits, dass c=0 ist, also
>
> II. 0=324a +18b
>
> III. [mm]8=a*9^2[/mm] + b*9 [+c... aber da c=0 ist, können wir
> es hier weglassen]
>
>
> nun löse ich die II. gleichung nach b auf
>
> b=-18a
>
> und setze das ergebnis in die III. gleichung ein
>
> 8=81a-162a
> 8=-81a
>
> a= [mm]-\bruch{8}{81}[/mm]
>
> => b= [mm]\bruch{16}{9}[/mm]
>
> die gesuchte gleichung lautet also:
>
> [mm]y=-\bruch{8}{81}x^2[/mm] + [mm]\bruch{16}{9}x[/mm]
>
> scheitelpunktdarstellung
>
> [mm]y=-\bruch{8}{81}x^2[/mm] + [mm]\bruch{144}{81}x[/mm]
bis hier hin bin ich mitgekommen. aber wie hast du weiter gerechnet? das verstehe ich nicht so ganz...kannst du mir das vll nochmal erklären? wäre sehr nett!! danke im vorraus! viele grüße
>
> [mm]y=-\bruch{8}{81}[/mm] * [mm](x^2[/mm] - 18x)
>
> [mm]y=-\bruch{8}{81}[/mm] * [mm](x^2[/mm] - 2*x*9 [mm]+9^2 -9^2)[/mm]
>
> [mm]y=-\bruch{8}{81}[/mm] * [mm](x^2[/mm] - [mm]9)^2 -\bruch{8}{81}*(-9^2)[/mm]
>
> und schon habe ich die scheitelpunktsform, als kleine probe
>
>
> [mm]y=-\bruch{8}{81}[/mm] * [mm](x^2[/mm] - [mm]9)^2[/mm] +8
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> gruss
> wolfgang
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:02 Mo 16.10.2006 | | Autor: | hase-hh |
moin, oki
[mm] y=-\bruch{8}{81}x^2 [/mm] + [mm] \bruch{144}{81}x
[/mm]
ich habe als erstes [mm] -\bruch{8}{81} [/mm] damit ich vor dem [mm] x^2 [/mm] keinen störenden faktor mehr stehen habe bzw. dasteht: [mm] 1*x^2 [/mm]
beim ausklammern muss jeden summanden in der klammer durch den ausgeklammerten faktor teilen, damit ichbeim klammerauflösen wieder auf die ursprüngliche gleichung komme.
[mm] y=-\bruch{8}{81} [/mm] * [ [mm] -\bruch{8}{81}*(- \bruch{81}{8})*x^2 [/mm] + [mm] \bruch{144}{81}*(- \bruch{81}{8})*x [/mm] ]
[mm] y=-\bruch{8}{81}*[x^2 [/mm] - 18x]
hier kann man schon sehen, dass die parabel nach unten geöfnet ist, da der öffnungsfaktor negativ ist.
nun habe ich quadratisch ergänzt, unter zuhilfenahme der 2. binomischen formel...
[mm] a^2+2ab +b^2 [/mm] --- das b ist in der regel im faktor vor dem x "versteckt"., zur veranschaulichung daher meine zerlegung
[mm] y=-\bruch{8}{81}*[x^2 [/mm] - 2*x*9 [mm] +9^2 -9^2]
[/mm]
d.h. b=9 => [mm] b^2 [/mm] = [mm] 9^2 [/mm] ; muss ich natürlich wieder abziehen damit ich die gleichung nicht verändere.
das ganze kann ich jetzt so schreiben:
[mm] y=-\bruch{8}{81}*[(x-9)^2 -9^2]
[/mm]
oki, dann habe ich wieder ausmultipliziert und erhalte:
[mm] y=-\bruch{8}{81}*(x-9)^2 [/mm] +8
alles klar?!
wolfgang
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naaaajaaa...also mir ist das fast klar: du hast nur bei deinen beiden lösungen am schluss jeweils was anderes raus...ist das ein tippfehler? oder stimmt das beides?
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Hallo Informacao,
> naaaajaaa...also mir ist das fast klar: du hast nur bei
> deinen beiden lösungen am schluss jeweils was anderes
> raus...ist das ein tippfehler? oder stimmt das beides?
Beides stimmt: das sind nur zwei Formen der  Parabelgleichung: Normalform und Scheitelpunktform.
Bitte nachlesen und merken!
Gruß informix
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http://www.marie-herberger.de/marie/mathematik_funktionsgleichungenerstellen_marie_2006.html