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Forum "Längen, Abstände, Winkel" - P auf g mit Abstand 200 zu E
P auf g mit Abstand 200 zu E < Längen+Abst.+Winkel < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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P auf g mit Abstand 200 zu E: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:59 Fr 17.04.2020
Autor: hase-hh

Aufgabe
Ein Flugzeug fliegt auf der Geraden g

g:  [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{40 \\ -220 \\ 80} [/mm] + [mm] s*\vektor{0 \\ 10 \\ 0} [/mm]

auf eine Ebene E zu

E:   [mm] 3*x_1 [/mm] - [mm] 4*x_2 [/mm]  = -400.


Die Längeneinheit ist Meter, der Parameter s gibt die Zeit in Sekunden an.


Bestimmen Sie den Punkt P, an dem das Flugzeug noch 200 m von E entfernt ist.




Moin Moin,

ok, ich könnte mit der HNF  den Punkt P auf der Geraden bestimmen, der 200 m von E entfernt liegt.


d = | [mm] \bruch{3x_1 -4x_2 +400}{\wurzel{3^2 + (-4)^2 +0^2}} [/mm]  | = 200


Ein beliebiger Punkt auf der Geraden hat die Koordinaten  [mm] \vektor{40 \\ -220 +10*s \\ 80} [/mm]



d = | [mm] \bruch{3*40 -4*(-220+10s) +400}{5} [/mm]  | = 200

d = |  280 -8s  | = 200

1. Fall  280 -8s [mm] \ge [/mm] 0       280 -8s = 200   =>  s = 10


2. Fall  280 -8s < 0        -280 +8s = 200   =>  s = 60


Da das Flugzeug zunächst [mm] \vektor{40 \\ -220 \\ 80} [/mm] passiert, ist der gesuchte Punkt bei s = 10  zu finden, da bei s = 60 das Flugzeug die Ebene bereits durchquert hat.  

P (40 \ -120 \ 80)


***

Mir geht es um einen anderen Lösungsweg. Ist es möglich, P auch über das Lotfußpunktverfahren zu bestimmen?

In den meisten Aufgaben wird ein Punkt P vorgegeben, und zu diesem soll dann der Abstand d zur Ebene berechnet werden.

Hier wird aber der Punkt P gesucht und der Abstand d ist vorgegeben.


Meine Ideen:


Der Punkt P läßt sich mithilfe der Geradengleichung allgemein ausdrücken:

P (40 \ -220 +10s \ 80)


Ein Lotfußpunkt L  hat die Koordinaten  [mm] (l_1 [/mm] \ [mm] l_2 [/mm] \ [mm] l_3) [/mm]


Ich könnte den Vektor [mm] \vec{PL} [/mm]  bilden und da dieser orthogonal zu E ist , müsste

[mm] \vec{PL} [/mm] = [mm] \lambda*\vec{n} [/mm]  sein.

I.    [mm] l_1 [/mm] -40 = [mm] 3*\lambda [/mm]
II.   [mm] l_2 [/mm] - (-220 + 10s) = [mm] -4*\lambda [/mm]
III.  [mm] l_3 [/mm] - 80 = [mm] \lambda*0 [/mm]


Komme ich so überhaupt zu einer Lösung?

Danke & Gruß!



P.S.  

1)  aus III. folgt   [mm] l_3 [/mm] = 80.
        
2)  Da  | [mm] \overrightarrow{PL} [/mm] | 0 = 200  folgt   200 = | [mm] \wurzel{(3*\lambda)^2 + (-4*\lambda)^2 + 0^2} [/mm] |

200 = [mm] \pm 25*\lambda_{1,2} [/mm]  

[mm] \lambda_1 [/mm] = 40   bzw.  [mm] \lambda_2 [/mm] = -40

3)  aus I. folgt  [mm] l_1 [/mm] - 40 = [mm] 3*\lambda [/mm]    

[mm] l_1 [/mm] -40 = 3*40      bzw.  [mm] l_1 [/mm] -40 = 3*(-40)

[mm] l_1 [/mm] = 160     bzw.   [mm] l_1 [/mm] = -80.                    


[mm] l_2 [/mm] - (-220 +10s) = [mm] -4*\lambda [/mm]
[mm] l_2 [/mm] - (-220 +10s) = -160     bzw.  [mm] l_2 [/mm] - (-220 +10s) = 160

Allerdings fehlt mir immer noch  [mm] l_2 [/mm]  und  s    ???



















        
Bezug
P auf g mit Abstand 200 zu E: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:26 Fr 17.04.2020
Autor: statler


> Ein Flugzeug fliegt auf der Geraden g
>  
> g:  [mm]\vec{x}[/mm] = [mm]\vektor{40 \\ -220 \\ 80}[/mm] + [mm]r*\vektor{0 \\ 10 \\ 0}[/mm]
>  
> auf eine Ebene E zu
>
> E:   [mm]3*x_1[/mm] - [mm]4*x_2[/mm]  = -400.
>  
>
> Die Längeneinheit ist Meter.
>  
>
> Bestimmen Sie den Punkt P, an dem das Flugzeug noch 200 m
> von E entfernt ist.
>  

Hi!
  

> ok, ich könnte mit der HNF  den Punkt P auf der Geraden
> bestimmen, der 200 m von E entfernt liegt.
>
>
> d = | [mm]\bruch{3x_1 -4x_2 +400}{\wurzel{3^2 + (-4)^2 +0^2}}[/mm]  
> | = 200
>  
>
> Ein beliebiger Punkt auf der Geraden hat die Koordinaten  
> [mm]\vektor{40 \\ -220 +10*s \\ 80}[/mm]
>  
>
>
> d = | [mm]\bruch{3*40 -4*(-220+10s) +400}{5}[/mm]  | = 200
>  
> d = |  280 -8s  | = 200
>  
> 1. Fall  280 -8s [mm]\ge[/mm] 0       280 -8s = 200   =>  s = 10

>  
>
> 2. Fall  280 -8s < 0        -280 +8s = 200   =>  s = 60

>  
>
> Da das Flugzeug zunächst [mm]\vektor{40 \\ -220 \\ 80}[/mm]
> passiert, ist der gesuchte Punkt bei s = 10  zu finden, da
> bei s = 60 das Flugzeug die Ebene bereits durchquert hat.  

Diese Interpretation gibt die Aufgabe so nicht her(, weil nirgends steht, daß der Parameter s die Zeit bedeuten soll).

>
> P (40 \ -120 \ 80)
>  
>
> ***
>
> Mir geht es um einen anderen Lösungsweg. Ist es möglich,
> P auch über das Lotfußpunktverfahren zu bestimmen?
>  
> In den meisten Aufgaben wird ein Punkt P vorgegeben, und zu
> diesem soll dann der Abstand d zur Ebene berechnet werden.
>
> Hier wird aber der Punkt P gesucht und der Abstand d ist
> vorgegeben.
>
>
> Meine Ideen:
>  
>
> Der Punkt P läßt sich mithilfe der Geradengleichung
> allgemein ausdrücken:
>  
> P (40 \ -220 +10s \ 80)
>  
>
> Ein Lotfußpunkt L  hat die Koordinaten  [mm](l_1[/mm] \ [mm]l_2[/mm] \ [mm]l_3)[/mm]
>
>
> Ich könnte den Vektor [mm]\vec{PL}[/mm]  bilden und da dieser
> orthogonal zu E ist , müsste
>
> [mm]\vec{PL}[/mm] = [mm]\lambda*\vec{n}[/mm]  sein.
>  
> I.    [mm]l_1[/mm] -40 = [mm]3*\lambda[/mm]
> II.   [mm]l_2[/mm] - (-220 + 10s) = [mm]-4*\lambda[/mm]
>  III.  [mm]l_3[/mm] - 80 = [mm]\lambda*0[/mm]
>  
>
> Komme ich so überhaupt zu einer Lösung?
>
> Danke & Gruß!
>  
>
>
> P.S.  
>
> 1)  aus III. folgt   [mm]l_3[/mm] = 80.
>
> 2)  Da  |  [mm]\vec{PL}[/mm]  | 0 = 200  folgt   200 =
> [mm]\wurzel{(3*\lambda)^2 + [-4*\lambda)^2 + 0^2}[/mm]
>  
> 200 = [mm]25*\lambda[/mm]  
>
> [mm]\lambda[/mm] = 40

oder [mm] $\lambda [/mm] = -40$

> 3)  aus I. folgt  [mm]l_1[/mm] - 40 = [mm]3*\lambda[/mm]    
>
> [mm]l_1[/mm] -40 = 3*40  
>
> [mm]l_1[/mm] = 160.
>  
>
>
> [mm]l_2[/mm] - (-220 +10s) = -160
>
> Allerdings fehlt mir immer noch  [mm]l_2[/mm]  und  s    ???

Der Lotfußpunkt muß in der Ebene liegen, also gibt es einen Zusammenhang zwischen den Koordinaten:

$3 [mm] \cdot [/mm] 160 - 4 [mm] \cdot l_{2} [/mm] = -400$,
also [mm] $l_{2} [/mm] = 220$ und $s = 60$

Mit [mm] $\lambda [/mm] = -40$ findest du den anderen LFP.
Gruß aus HH
Dieter



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