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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:20 Di 29.08.2006 | | Autor: | hooover |
| Aufgabe | Bestimme die PBZ der rationalen Fkt.. Im Falle von komplexen Nst des Nenners führe die PBZ sowohl reel als auch komlex durch.
ii) [mm] \bruch{2x+3}{x^4-1} [/mm] |
Hallo Letue,
also ich hab da ein Probelm mit den komplexen Nullstellen.
Ich zeig ich euch mal was ich hier hab
1) Nst. von q
[mm] x^4-1=(x^2-1)(x^2+1)
[/mm]
[mm] x_{1}=1
[/mm]
[mm] x_{2}=-1
[/mm]
[mm] x_{3}=i
[/mm]
[mm] x_{4}=-i
[/mm]
[mm] \bruch{2x-3}{(x-1)(x+)(x-i)(x+i)}=\bruch{A}{(x-1)}\bruch{B}{(x+1)}\bruch{C}{(x+i)}\bruch{D}{(x-i)}
[/mm]
Frage:
Wie geh jetz mit dem i um beim ausmultiplizieren?
auf herkömmliche ART und Weise würde A, B, C, D dann so aussehen
[mm] A=\bruch{7}{8+2i^2}
[/mm]
[mm] B=\bruch{1}{-8-2i^2}
[/mm]
[mm] C=\bruch{2i+3}{2i^3-2i}
[/mm]
[mm] D=\bruch{-2i+3}{-2i^3+2i}
[/mm]
stimmt das denn oder geht man da anders vor?
Wenn ich damit weiter mache kommt das dabei raus:
[mm] \bruch{7}{8+2i^2}+\bruch{1}{-8-2i^2}+\bruch{2i+3}{2i^3-2i}+\bruch{-2i+3}{-2i^3+2i}
[/mm]
oder ist das schon die lösung?
achso wie sieht dann dei reelle Zerlegung aus?
Vielen Gruß hooover
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:38 Di 29.08.2006 | | Autor: | riwe |
hallo,
(üblicherweise bleibt man im reellen!)
[mm] \frac{2x+3}{x^{4}-1}=\frac{A}{x+1}+\frac{B}{x-1}+\frac{Cx +D}{x^{2}+1}
[/mm]
und nun führt man einen koeffizientenvergleich durch
das ergibt - hoffentlich:
A + B + C = 0
-A + B + D = 0
A + B - C = 2
-A - B - D = 3
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:54 Di 29.08.2006 | | Autor: | hooover |
| Aufgabe | | Bestimme die PBZ der rationalen FKT. Im Falle von komplexen NST des Nenners führe die PBZ sowohl reell als auch komplex durch. |
> hallo,
> (üblicherweise bleibt man im reellen!)
> [mm]\frac{2x+3}{x^{4}-1}=\frac{A}{x+1}+\frac{B}{x-1}+\frac{Cx +D}{x^{2}+1}[/mm]
>
> und nun führt man einen koeffizientenvergleich durch
> das ergibt - hoffentlich:
> A + B + C = 0
> -A + B + D = 0
> A + B - C = 2
> -A - B - D = 3
das mag sein, aber die AUfgabe verlangt halt das ich den reellen als auch den komplexen betrachten soll , für denn Fall von komlexen Nullstellen des Nenners.
Die Nullstellen von q sind doch richtig oder?
Dann liegen hier komplexe Nullstellen vor.
Und wie verfahre ich mit diesen?
Gruß hooover
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:27 Di 29.08.2006 | | Autor: | riwe |
die nullstellen sind 1, -1, i und -i
und dein ansatz ist richtig, wenn du überall zwischen die brüche ein "+"- zeichen einfügst, also
[mm] ....=\frac{A}{x-1}+....+...+...
[/mm]
und dann wie im reellen einen koeffizientenvergleich machen.
also - wieder hoffentlich
A + B + C + D = 0
-A + B = 0
A + B - C - D = 2
D - C = 0
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