Ostereier verstecken < Kombinatorik < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:24 Do 13.03.2014 | | Autor: | rsprsp |
| Aufgabe | Aufgabe
Zu Ostern sollen rote, gelbe und blaue Eier versteckt werden. Dabei soll in jedes Versteck genau ein Ei gelegt
werden. Wieviele Möglichkeiten gibt es, nacheinander 7 Eier an 7 Orten zu verstecken, wenn
a) genau 2 rote Eier versteckt werden sollen,
b) genau 2 rote Eier nebeneinander versteckt werden sollen,
c) genau 2 rote Eier nicht nebeneinander versteckt werden sollen,
d) genau 2 rote Eier nicht nebeneinander versteckt werden sollen und auf ein rotes stets ein blaues Ei
folgt,
e) auf ein rotes stets ein blaues Ei folgen soll, (Tipp: Rot kommt 0,1,2 oder 3 mal vor)
f) genau 3 rote und genau 2 gelbe Eier versteckt werden sollen,
g) genau 3 rote und mindestens 2 gelbe Eier versteckt werden sollen. |
Hallo, habe probiert die Aufgaben zu lösen soweit wie ich gekommen bin:
a) A = [mm] \vektor{7 \\ 4} [/mm] * [mm] 2^{5} [/mm] $ = 672
b) B = 6 * [mm] 2^{5} [/mm] $ = 192
c) C = A - B = 480
d)
e)
f) [mm] \vektor{7 \\ 3} [/mm] * [mm] \vektor{4 \\ 2} [/mm]
g)
Ich habe jetzt die genommen bei denen ich weiß, dass sie richtig sind. Könnte mir jemand die restliche Hälfte erklären ?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:44 Di 18.03.2014 | | Autor: | tobit09 |
Hallo rsprsp!
> Aufgabe
> Zu Ostern sollen rote, gelbe und blaue Eier versteckt
> werden. Dabei soll in jedes Versteck genau ein Ei gelegt
> werden. Wieviele Möglichkeiten gibt es, nacheinander 7
> Eier an 7 Orten zu verstecken, wenn
>
> a) genau 2 rote Eier versteckt werden sollen,
> b) genau 2 rote Eier nebeneinander versteckt werden
> sollen,
> c) genau 2 rote Eier nicht nebeneinander versteckt werden
> sollen,
> d) genau 2 rote Eier nicht nebeneinander versteckt werden
> sollen und auf ein rotes stets ein blaues Ei
> folgt,
> e) auf ein rotes stets ein blaues Ei folgen soll, (Tipp:
> Rot kommt 0,1,2 oder 3 mal vor)
> f) genau 3 rote und genau 2 gelbe Eier versteckt werden
> sollen,
> g) genau 3 rote und mindestens 2 gelbe Eier versteckt
> werden sollen.
> a) A = [mm]\vektor{7 \\ 4}[/mm] * [mm]2^{5}[/mm] $ = 672
> b) B = 6 * [mm]2^{5}[/mm] $ = 192
> c) C = A - B = 480
> d)
> e)
> f) [mm]\vektor{7 \\ 3}[/mm] * [mm]\vektor{4 \\ 2}[/mm]
> g)
>
> Ich habe jetzt die genommen bei denen ich weiß, dass sie
> richtig sind.
In der Tat: ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") .
> Könnte mir jemand die restliche Hälfte
> erklären ?
> d) genau 2 rote Eier nicht nebeneinander versteckt werden
> sollen und auf ein rotes stets ein blaues Ei
> folgt,
Sei
$x$ = die Anzahl der Möglichkeiten, die roten Eier (und jeweils ein blaues Ei dahinter) zu platzieren
und
$y$ = die Anzahl der Möglichkeiten, die dann jeweils bleiben, die noch nicht bestückten Orte zu bestücken.
Dann lautet die gesuchte Anzahl $x*y$.
Zur Bestimmung von $x$:
Für die 2 roten Eier kommen die ersten 6 Orte infrage.
5 von allen denkbaren Platzierungen der 2 roten Eier auf die 6 Orte sind jedoch nicht zulässig, da zwei rote Eier nebeneinander platziert würden.
> e) auf ein rotes stets ein blaues Ei folgen soll, (Tipp:
> Rot kommt 0,1,2 oder 3 mal vor)
Bestimme
[mm] $z_i$ [/mm] = Anzahl der Möglichkeiten, die 7 Orte so zu bestücken, dass genau i rote Eier vertreten sind und auf jedes rote Ei ein blaues Ei folgt
für $i=0,1,2,3$.
[mm] ($z_2$ [/mm] ist der unter d) ermittelte Wert.)
Die gesuchte Anzahl lautet dann [mm] $z_0+z_1+z_2+z_3$.
[/mm]
> g) genau 3 rote und mindestens 2 gelbe Eier versteckt
> werden sollen.
Sei
$u$ = Anzahl der Möglichkeiten die 3 roten Eier zu platzieren
und
$v$ = Anzahl der Möglichkeiten, die übrigen 4 Orte so zu bestücken, dass mindestens 2 gelbe Eier vertreten sind.
Dann lautet die gesuchte Anzahl $u*v$.
Zur Bestimmung von $v$:
Sei
[mm] $v_i$ [/mm] = Anzahl der Möglichkeiten 4 Orte mit genau $i$ gelben Eiern (und die übrigen Orte mit blauen Eiern) zu bestücken
für $i=2,3,4$.
Dann gilt [mm] $v=v_2+v_3+v_4$.
[/mm]
Viele Grüße
Tobias
|
|
|
|
