Ortskurve < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:40 Sa 01.03.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
Hallo^^
Kann mir jemand folgende Aufgabe nachschauen??
Also die Aufgabe lautet:
a)Diskutiere die Kurvenschar [mm] f_{a}*(x)=\bruch{1}{2}*x^{4}-ax^{2} [/mm] (a>0).
b)Bestimme die Ortskurve der Tiefpunkte sowie die Ortskurve der Wendepunkte.
a)1.Symmetrie:gerade Exponenten --->achsensymmetrisch.
2.Ableitungen: [mm] f'(x)=2x^{3}-2ax, f''(x)=6x^{2}-2a [/mm] ,f'''(x)=12x
3.Nullstellen: [mm] x^{2}*(0.5x^{2}-a) x_{1}=0 ,x_{2}=\wurzel{2a}
[/mm]
4.Extrema: [mm] 2x^{3}-2ax=0 x_{1}=\wurzel{a} x_{2}=-\wurzel{a}
[/mm]
Ensetzen in f''(x) = 4a >0:Tiefpunkt
Wendepunkte: [mm] 6x^{2}-2a=0 x_{1}=\wurzel{\bruch{1}{3}*a} x_{2}=-\wurzel{\bruch{1}{3}*a} [/mm]
Einsetzen in f'''(x)= [mm] 12*\wurzel{\bruch{1}{3}*a} [/mm] --->Wendepunkt
b)Ortskurve des Tiefpunktes: Hab den x-Wert in die Anfangsgleichung eingesetzt und hab [mm] 2*a^{4}-4a^{3} [/mm] rausbekommen,das müsste dann auch die Ortskurve sein oder??
Ortskurve des Wendepunktes:Da hab ich es auch gemacht und hab [mm] \wurzel{\bruch{a}{3}}-a^{2}*\wurzel{\bruch{a}{3}},hier [/mm] weiß leider nicht ob man noch weiter kürzen kann...
Danke^^
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Hallo Mandy_90,
> Hallo^^
> Kann mir jemand folgende Aufgabe nachschauen??
> Also die Aufgabe lautet:
> a)Diskutiere die Kurvenschar
> [mm]f_{a}*(x)=\bruch{1}{2}*x^{4}-ax^{2}[/mm] (a>0).
> b)Bestimme die Ortskurve der Tiefpunkte sowie die
> Ortskurve der Wendepunkte.
>
> a)1.Symmetrie:gerade Exponenten --->achsensymmetrisch.
>
> 2.Ableitungen: [mm]f'(x)=2x^{3}-2ax, f''(x)=6x^{2}-2a[/mm]
> ,f'''(x)=12x
>
> 3.Nullstellen: [mm]x^{2}*(0.5x^{2}-a) x_{1}=0 ,x_{2}=\wurzel{2a}[/mm]
>
>
> 4.Extrema: [mm]2x^{3}-2ax=0 \; x_{1}=\wurzel{a} \; x_{2}=-\wurzel{a}[/mm]
>
> Ensetzen in f''(x) = 4a >0:Tiefpunkt
was hast du denn hier eingesetzt?
zusammenfassend:
T [mm] (\pm\wurzel{a}|f(\wurzel{a})) [/mm] ist also Tiefpunkt.
Jetzt sollst du die  Ortskurve finden, auf der alle Tiefpunkte liegen, wenn a alle zulässigen Werte durchläuft:
Dazu eliminierst du das a aus den Koordinaten von T:
[mm] x=\wurzel{a} \Rightarrow x^2=a \Rightarrow [/mm] einsetzen in [mm] y=f(\wurzel{a}) [/mm] ergibt einen neuen Term ohne a, der die Lage aller Tiefpunkte beschreibt.
Probier's mal!
>
> Wendepunkte: [mm]6x^{2}-2a=0 x_{1}=\wurzel{\bruch{1}{3}*a} x_{2}=-\wurzel{\bruch{1}{3}*a}[/mm]
> Einsetzen in f'''(x)= [mm]12*\wurzel{\bruch{1}{3}*a}[/mm]
> --->Wendepunkt
>
> b)Ortskurve des Tiefpunktes: Hab den x-Wert in die
> Anfangsgleichung eingesetzt und hab [mm]2*a^{4}-4a^{3}[/mm]
> rausbekommen,das müsste dann auch die Ortskurve sein
> oder??
nein, siehe oben!
> Ortskurve des Wendepunktes:Da hab ich es auch gemacht und
> hab [mm]\wurzel{\bruch{a}{3}}-a^{2}*\wurzel{\bruch{a}{3}},hier[/mm]
> weiß leider nicht ob man noch weiter kürzen kann...
Geht analog...
Gruß informix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:04 Sa 01.03.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
Ok für den Tiefpunkt wär die Ortskurve dann [mm] -0.5x^{4}?
[/mm]
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Hallo Mandy,
> Ok für den Tiefpunkt wär die Ortskurve dann [mm]-0.5x^{4}?[/mm]
Ok. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:27 Sa 01.03.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
Ich hab ma noch ne Frage,muss man immer das a eliminieren,wenn da eins ist???
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Hey, ja zur Berechnung einer Ortskurve muss immer der Parameter (z.B. a) eliminiert werden und nicht die Variable (z.B. x). So kommt es dann auch, dass deine Ortskurve wieder von x abhängt. Gruß Patrick
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Hallo Mandy_90,
> Ich hab ma noch ne Frage,muss man immer das a
> eliminieren,wenn da eins ist???
bist du nicht meinem Tipp zu Ortskurve gefolgt? Da steht's doch erklärt?!
Gruß informix
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