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Orthonormalisierung komplex: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:04 Fr 11.05.2012
Autor: chesn

Hallo!

Ich möchte eine Orthonormalbasis von [mm] \IC^3 [/mm] bezüglich einer Sesquilinearform [mm] \Phi [/mm] bestimmen. Meine Frage:

Dazu nehme ich die Basis [mm] B=\{\pmat{1\\0\\0},\pmat{i\\0\\0},\pmat{0\\1\\0},\pmat{0\\i\\0},\pmat{0\\0\\1},\pmat{0\\0\\i}\} [/mm] und wende einfach das Orthonormalisierungsverfahern (Gram-Schmidt) nach Kochrezept auf alle 6 Vektoren an und erhalte dann meine Orthonormalbasis, oder gibt es da noch irgend etwas besonderes zu beachten?

Danke und lieben Gruß
chesn



        
Bezug
Orthonormalisierung komplex: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:10 Fr 11.05.2012
Autor: fred97


> Hallo!
>  
> Ich möchte eine Orthonormalbasis von [mm]\IC^3[/mm] bezüglich
> einer Sesquilinearform [mm]\Phi[/mm] bestimmen. Meine Frage:
>  
> Dazu nehme ich die Basis
> [mm]B=\{\pmat{1\\0\\0},\pmat{i\\0\\0},\pmat{0\\1\\0},\pmat{0\\i\\0},\pmat{0\\0\\1},\pmat{0\\0\\i}\}[/mm]
> und wende einfach das Orthonormalisierungsverfahern
> (Gram-Schmidt) nach Kochrezept auf alle 6 Vektoren an und
> erhalte dann meine Orthonormalbasis, oder gibt es da noch
> irgend etwas besonderes zu beachten?

Dein obiges B ist keine Basis des [mm] \IC^3 [/mm]  !!

[mm] \IC^3 [/mm] als Vektorraum über [mm] \IC [/mm] hat die Dimension 3.

FRED

>  
> Danke und lieben Gruß
>  chesn
>  
>  


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Orthonormalisierung komplex: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:02 Fr 11.05.2012
Autor: chesn

Aufgabe
Sei [mm] \Phi: \IC^3\times\IC^3\to\IC, (x,y)\to x^T*A*\overline{y} [/mm] definiert durch

[mm] A:=\pmat{1&i&1+i\\-i&2&-i\\1-i&i&4} [/mm]

Bestimmen Sie eine Orthonormalbasis von [mm] \IC^3 [/mm] bezüglich [mm] \Phi. [/mm]

Hallo! Weiss leider nicht was ich falsch mache:

Wenn ich z.B. die Basis [mm] B=\{\pmat{i\\0\\0},\pmat{0\\i\\0},\pmat{0\\0\\i}\} [/mm] von [mm] \IC^3 [/mm] wähle und mit Gram-Schmidt orthonormalisieren will, pssiert das:

Erster Vektor der Orthonormalbasis ist dann [mm] v_1=\pmat{i\\0\\0}. [/mm]
Zu dem berechne ich dann den orthogonalen Vektor [mm] v_2': [/mm]

[mm] v_2'=\pmat{0\\i\\0}-\Phi(v_1,w_2)*\pmat{i\\0\\0} [/mm] und erhalte damit

[mm] v_2'=\pmat{1\\i\\0} [/mm] damit müsste gelten:

[mm] \Phi(v_1,v_2')=v_1*A*\overline{v_2'}=0 [/mm]

was bei mir aber nicht funktioniert, es ist nur

[mm] v_1*A*v_2'=0 [/mm]

ohne die komplexe Konjugation... was mache ich falsch??

Vielen Dank und liebe Grüße,
chesn

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Orthonormalisierung komplex: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:54 Fr 11.05.2012
Autor: MathePower

Hallo chesn,

> Sei [mm]\Phi: \IC^3\times\IC^3\to\IC, (x,y)\to x^T*A*\overline{y}[/mm]
> definiert durch
>  
> [mm]A:=\pmat{1&i&1+i\\-i&2&-i\\1-i&i&4}[/mm]
>  
> Bestimmen Sie eine Orthonormalbasis von [mm]\IC^3[/mm] bezüglich
> [mm]\Phi.[/mm]
>  Hallo! Weiss leider nicht was ich falsch mache:
>  
> Wenn ich z.B. die Basis
> [mm]B=\{\pmat{i\\0\\0},\pmat{0\\i\\0},\pmat{0\\0\\i}\}[/mm] von
> [mm]\IC^3[/mm] wähle und mit Gram-Schmidt orthonormalisieren will,
> pssiert das:
>  
> Erster Vektor der Orthonormalbasis ist dann
> [mm]v_1=\pmat{i\\0\\0}.[/mm]
>  Zu dem berechne ich dann den orthogonalen Vektor [mm]v_2':[/mm]
>  
> [mm]v_2'=\pmat{0\\i\\0}-\Phi(v_1,w_2)*\pmat{i\\0\\0}[/mm] und
> erhalte damit
>  
> [mm]v_2'=\pmat{1\\i\\0}[/mm] damit müsste gelten:
>  
> [mm]\Phi(v_1,v_2')=v_1*A*\overline{v_2'}=0[/mm]
>  
> was bei mir aber nicht funktioniert, es ist nur
>  
> [mm]v_1*A*v_2'=0[/mm]
>  
> ohne die komplexe Konjugation... was mache ich falsch??
>  


[mm]v_2'[/mm] muß doch lauten:

[mm]v_2'=\pmat{\blue{-}1\\i\\0}[/mm]


> Vielen Dank und liebe Grüße,
>  chesn


Gruss
MathePower

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Orthonormalisierung komplex: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:51 Sa 12.05.2012
Autor: chesn

Hallo! Danke erstmal, mit $ [mm] v_2'=\pmat{\blue{-}1\\i\\0} [/mm] $ funktioniert das Ganze. Allerdings komme ich rechnerisch nicht auf dieses Ergebnis.

[mm] x^T [/mm] wird -nicht- komplex konjugiert, oder liegt da mein Fehler?
Ansonsten komme ich auf:

$ [mm] \Phi(v_1,w_2)=v_1^T*A*\overline{w_2}=(i,0,0)*\pmat{1&i&1+i\\-i&2&-i\\1-i&i&4}*\pmat{0\\-i\\0}=(i,-1,-1+i)*\pmat{0\\-i\\0}=i [/mm] $

und so auf [mm] v_2'=\pmat{0\\i\\0}-i*\pmat{i\\0\\0}=\pmat{0\\i\\0}-\pmat{-1\\0\\0}=\pmat{1\\i\\0} [/mm]

Anders, wenn ich [mm] v_1 [/mm] und [mm] w_2 [/mm] vertausche, dann komme ich auf dein Ergebnis:

[mm] \Phi(w_2,v_1)=(0,i,0)*\pmat{1&i&1+i\\-i&2&-i\\1-i&i&4}*\pmat{-i\\0\\0}=(1,2i,1)*\pmat{-i\\0\\0}=-i [/mm]

und damit auf dein [mm] v_2'. [/mm] Also was mache ich falsch?

Edit: Habe [mm] v_3' [/mm] berechnet, indem ich da auch jedesmal nicht [mm] \Phi(v_i,w_3) [/mm] sondern [mm] \Phi(w_3,v_i) [/mm] berechnet habe, und alles geht auf.

Warum klappt das nur so? Gibt es da eine Regel die ich nicht beachtet habe?

Danke und lieben Gruß,
chesn




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Orthonormalisierung komplex: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:35 Sa 12.05.2012
Autor: MathePower

Hallo chesn,

> Hallo! Danke erstmal, mit [mm]v_2'=\pmat{\blue{-}1\\i\\0}[/mm]
> funktioniert das Ganze. Allerdings komme ich rechnerisch
> nicht auf dieses Ergebnis.
>  
> [mm]x^T[/mm] wird -nicht- komplex konjugiert, oder liegt da mein
> Fehler?
>  Ansonsten komme ich auf:
>  
> [mm]\Phi(v_1,w_2)=v_1^T*A*\overline{w_2}=(i,0,0)*\pmat{1&i&1+i\\-i&2&-i\\1-i&i&4}*\pmat{0\\-i\\0}=(i,-1,-1+i)*\pmat{0\\-i\\0}=i[/mm]
>  
> und so auf
> [mm]v_2'=\pmat{0\\i\\0}-i*\pmat{i\\0\\0}=\pmat{0\\i\\0}-\pmat{-1\\0\\0}=\pmat{1\\i\\0}[/mm]
>  
> Anders, wenn ich [mm]v_1[/mm] und [mm]w_2[/mm] vertausche, dann komme ich auf
> dein Ergebnis:
>  
> [mm]\Phi(w_2,v_1)=(0,i,0)*\pmat{1&i&1+i\\-i&2&-i\\1-i&i&4}*\pmat{-i\\0\\0}=(1,2i,1)*\pmat{-i\\0\\0}=-i[/mm]
>  
> und damit auf dein [mm]v_2'.[/mm] Also was mache ich falsch?
>  
> Edit: Habe [mm]v_3'[/mm] berechnet, indem ich da auch jedesmal nicht
> [mm]\Phi(v_i,w_3)[/mm] sondern [mm]\Phi(w_3,v_i)[/mm] berechnet habe, und
> alles geht auf.
>  
> Warum klappt das nur so? Gibt es da eine Regel die ich
> nicht beachtet habe?
>  


Nach dieser []Definition ist [mm]\Phi[/mm] keine Sesquilinearform,
da [mm]\Phi[/mm] im ersten Argument linear und im zweiten Argument semilinear ist.

Das heisst Du musst darauf achten, daß bei der Skalarproduktbildung,
die Linearität im ersten Argument gewährleistet ist.


> Danke und lieben Gruß,
>  chesn
>  


Gruss
MathePower

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Orthonormalisierung komplex: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:25 Mo 14.05.2012
Autor: franzonius

Es gilt doch nach dem ONB-Verfahren von Erhard Schmidt:
[mm] v_2'=-\Phi(v_2,w_1)w_1+v_2 [/mm]
Damit ergibt sich [mm] v_2'=\vektor{-1 \\ i \\ 0} [/mm]

Warum hast du jetzt zur Berechnung von [mm] v_2' \Phi(v_1,w_2) [/mm] berechnet?

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Orthonormalisierung komplex: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:47 Sa 12.05.2012
Autor: roydebatzen

So ich habe die Berechnung jetzt auch nochmal gemacht und erhalte:
[mm] v'_{1}=\vektor{i\\0\\0} [/mm]
[mm] w_{1}=v'_{1}/ \wurzel{\vektor{i\\0\\0}^{T}\pmat{1&i&1+i\\-i&2&-i\\1-i&i&4}\ \vektor{i\\0\\0}}= \vektor{i\\0\\0}/ \wurzel{\vektor{i\\-1\\i-1}^{T}\vektor{i\\0\\0}}=\vektor{i\\0\\0}/ \wurzel{-1} [/mm]
und dann geht es ja nicht weiter, also was mache ich falsch?

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Orthonormalisierung komplex: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:06 Sa 12.05.2012
Autor: MathePower

Hallo roydebatzen,

> So ich habe die Berechnung jetzt auch nochmal gemacht und
> erhalte:
>  [mm]v'_{1}=\vektor{i\\0\\0}[/mm]
>  [mm]w_{1}=v'_{1}/ \wurzel{\vektor{i\\0\\0}^{T}\pmat{1&i&1+i\\-i&2&-i\\1-i&i&4}\ \vektor{i\\0\\0}}= \vektor{i\\0\\0}/ \wurzel{\vektor{i\\-1\\i-1}^{T}\vektor{i\\0\\0}}=\vektor{i\\0\\0}/ \wurzel{-1}[/mm]
>  
> und dann geht es ja nicht weiter, also was mache ich
> falsch?


Das zweite Argument ist zu konjugieren:

[mm]w_{1}=v'_{1}/ \wurzel{\vektor{i\\0\\0}^{T}\pmat{1&i&1+i\\-i&2&-i\\1-i&i&4}\ \vektor{\blue{-}i\\0\\0}}[/mm]


Gruss
MathePower

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Orthonormalisierung komplex: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 02:04 So 13.05.2012
Autor: roydebatzen

Schade das es immernoch keinen Danke-Button hier gibt...

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Orthonormalisierung komplex: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 15:42 Sa 12.05.2012
Autor: roydebatzen

Hallo,

muss ich nicht erstmal prüfen, ob die Matrix unabhängig ist?
Oder ist das gegeben dadurch, das ich von dem C³ abbilde?

Thx Roy

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Orthonormalisierung komplex: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:35 Sa 12.05.2012
Autor: angela.h.b.


> Hallo,
>  
> muss ich nicht erstmal prüfen, ob die Matrix unabhängig
> ist?

Hallo,

von welcher Matrix redest Du?
Was soll eine unabhängige Matrix sein?

Vielleicht sagst Du mal etwas genauer, worüber Du gerade sprichst.

>  Oder ist das gegeben dadurch, das ich von dem C³
> abbilde?

???

LG Angela

>  
> Thx Roy


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Orthonormalisierung komplex: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:19 Sa 12.05.2012
Autor: chesn

Ich denke er will nachweisen, dass die Matrix A vollen Rang hat.

Also Zeilen-/Spaltenvektoren linear -unabhängig- sind.

Kann ich denn das alles jetzt einfach so stehen lassen? D.h. ich vertausche [mm] v_1 [/mm] und [mm] w_2 [/mm] einfach und erhalte damit mein Ergebnis?

gruß
chesn


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Bezug
Orthonormalisierung komplex: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:48 Sa 12.05.2012
Autor: roydebatzen

Ich werd es jetzt auch einfach gekonnt ignorieren.

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