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Forum "Lineare Algebra - Eigenwerte" - Orthonormalbasis von V
Orthonormalbasis von V < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Orthonormalbasis von V: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:34 Mo 21.05.2012
Autor: yangwar1

Aufgabe
Im unitären Vektorraum [mm] C^4 [/mm] (mit dem Standardskalarprodukt) sei der Endomorphismus F durch seine Abbildungsmatrix gegeben:
[mm] \pmat{ -4+5i & -4-4i & 0 & -2-2i\\ -4-4i & -5+4i & -2-2i & 0 \\ 0 & -2-2i & -4+5i & 4+4i \\ -2-2i & 0 &4+4i & -5+4i } [/mm]
b) Berechnen Sie eine Orthonormalbasis von V aus den Eigenvektoren von F

Mein Vorgehen wäre folgendes:
Eigenwerte bestimmen, dann Eigenvektoren bestimmen. Da die Matrix symmetrisch ist, sind die Eigenvektoren dann Orthonormalbasen.

Ich scheitere aber irgendwie schon bei der Bestimmung der Eigenwerte:

[mm] det(\pmat{ -4+5i-x & -4-4i & 0 & -2-2i\\ -4-4i & -5+4i-x & -2-2i & 0 \\ 0 & -2-2i & -4+5i-x & 4+4i \\ -2-2i & 0 &4+4i & -5+4i-x})=.... [/mm]

Mit Mathematica erhält man dann 4 Eigenwerte:
1/2 ((-9 + 9 I) + Sqrt[-32 + 130 I]),
-9
9 I
1/2 ((-9 + 9 I) - Sqrt[-32 + 130 I])

9 und 9i scheinen mir brauchbar, aber was sind die anderen für komische Zahlen?



        
Bezug
Orthonormalbasis von V: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:56 Mo 21.05.2012
Autor: MathePower

Hallo yangwar1,

> Im unitären Vektorraum [mm]C^4[/mm] (mit dem Standardskalarprodukt)
> sei der Endomorphismus F durch seine Abbildungsmatrix
> gegeben:
>  [mm]\pmat{ -4+5i & -4-4i & 0 & -2-2i\\ -4-4i & -5+4i & -2-2i & 0 \\ 0 & -2-2i & -4+5i & 4+4i \\ -2-2i & 0 &4+4i & -5+4i }[/mm]
>  
> b) Berechnen Sie eine Orthonormalbasis von V aus den
> Eigenvektoren von F
>  Mein Vorgehen wäre folgendes:
>  Eigenwerte bestimmen, dann Eigenvektoren bestimmen. Da die
> Matrix symmetrisch ist, sind die Eigenvektoren dann
> Orthonormalbasen.
>  
> Ich scheitere aber irgendwie schon bei der Bestimmung der
> Eigenwerte:
>  
> [mm]det(\pmat{ -4+5i-x & -4-4i & 0 & -2-2i\\ -4-4i & -5+4i-x & -2-2i & 0 \\ 0 & -2-2i & -4+5i-x & 4+4i \\ -2-2i & 0 &4+4i & -5+4i-x})=....[/mm]
>  
> Mit Mathematica erhält man dann 4 Eigenwerte:
>  1/2 ((-9 + 9 I) + Sqrt[-32 + 130 I]),
>  -9
>  9 I
>  1/2 ((-9 + 9 I) - Sqrt[-32 + 130 I])
>  
> 9 und 9i scheinen mir brauchbar, aber was sind die anderen
> für komische Zahlen?
>  


-9 und 9i  sind auch die einzigsten Eigenwerte,
die beide mit der algebraischen Vielfachheit 2 vorkommen.

Was die anderen beiden von Mathematica ermittelten
Eigenwert angeht, kann ich Dir nicht weiterhelfen.


Gruss
MathePower

Bezug
                
Bezug
Orthonormalbasis von V: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:26 Mo 21.05.2012
Autor: yangwar1

Also muss ich dann die zugehörigen Eigenvektoren bestimmen:

(V,A,-9)=Kern(A-X)

Ich habe dann mit dem Gaußalgorithmus vereinfacht:

[mm] \pmat{ 5+5i & -4-4i & 0 & -2-2i \\ 0 & 4+4i & -10-10i & -8-8i \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0} [/mm]

Also ist [mm] x_3=c [/mm] und [mm] x_4=d [/mm] frei wählbar.

[mm] (4+4i)x_2+(-10-10i)c+(-8-8i)d=0 [/mm]
Also:
[mm] x_2=-5/2c-2d [/mm]
[mm] x_1=... [/mm]
Dann erhalte ich zwei Vektoren, die dann Basis des Kerns zum Eigenwert -9 sind und somit Eigenvektoren sind, wenn ich c=1 und d=0 sowie c=0 und d=1 setze.


Noch eine Frage zu der Determinante. Folgende Umformungen müssten doch korrekt sein:

[mm] det\pmat{ -4+5i-x & -4-4i & 0 & -2-2i\\ -4-4i & -5+4i-x & -2-2i & 0 \\ 0 & -2-2i & -4+5i-x & 4+4i \\ -2-2i & 0 &4+4i & -5+4i-x}=det\pmat{ -4+5i-x & -4-4i & 0 & -2-2i\\ 0 & -5+4i-x & -10-10i & 5-4i+x \\ 0 & -2-2i & -4+5i-x & 4+4i \\ -2-2i & 0 &4+4i & -5+4i-x}=(-4+5i-x)det(\pmat{-5+4i-x & -10-10i & 5-4i+x \\-2-2i & -4+5i-x & 4+4i \\ 0 &4+4i & -5+4i-x}-(-2-2i)det(\pmat{-4-4i & 0 & -2-2i\\-5+4i-x & -10-10i & 5-4i+x \\-2-2i & -4+5i-x & 4+4i}[/mm]

Bezug
                        
Bezug
Orthonormalbasis von V: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:46 Mo 21.05.2012
Autor: MathePower

Hallo yangwar1,

> Also muss ich dann die zugehörigen Eigenvektoren
> bestimmen:
>  
> (V,A,-9)=Kern(A-X)
>  
> Ich habe dann mit dem Gaußalgorithmus vereinfacht:
>  
> [mm]\pmat{ 5+5i & -4-4i & 0 & -2-2i \\ 0 & 4+4i & -10-10i & -8-8i \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0}[/mm]
>  
> Also ist [mm]x_3=c[/mm] und [mm]x_4=d[/mm] frei wählbar.
>  
> [mm](4+4i)x_2+(-10-10i)c+(-8-8i)d=0[/mm]
>  Also:
>  [mm]x_2=-5/2c-2d[/mm]


Hier  muss doch stehen:

[mm]x_2=\blue{+}5/2c\blue{+}2d[/mm]


>  [mm]x_1=...[/mm]
>  Dann erhalte ich zwei Vektoren, die dann Basis des Kerns
> zum Eigenwert -9 sind und somit Eigenvektoren sind, wenn
> ich c=1 und d=0 sowie c=0 und d=1 setze.
>  
> Noch eine Frage zu der Determinante. Folgende Umformungen
> müssten doch korrekt sein:
>  
> [mm]det\pmat{ -4+5i-x & -4-4i & 0 & -2-2i\\ -4-4i & -5+4i-x & -2-2i & 0 \\ 0 & -2-2i & -4+5i-x & 4+4i \\ -2-2i & 0 &4+4i & -5+4i-x}=det\pmat{ -4+5i-x & -4-4i & 0 & -2-2i\\ 0 & -5+4i-x & -10-10i & 5-4i+x \\ 0 & -2-2i & -4+5i-x & 4+4i \\ -2-2i & 0 &4+4i & -5+4i-x}=(-4+5i-x)det(\pmat{-5+4i-x & -10-10i & 5-4i+x \\-2-2i & -4+5i-x & 4+4i \\ 0 &4+4i & -5+4i-x}-(-2-2i)det(\pmat{-4-4i & 0 & -2-2i\\-5+4i-x & -10-10i & 5-4i+x \\-2-2i & -4+5i-x & 4+4i}[/mm]
>  


Nach dem ersten Gleichheitszeichen muss doch stehen:

[mm]det\pmat{ -4+5i-x & -4-4i & 0 & -2-2i\\ 0 & -5+4i-x & -10-10i & \red{10-8i+2x}\\ 0 & -2-2i & -4+5i-x & 4+4i \\ -2-2i & 0 &4+4i & -5+4i-x}[/mm]


Gruss
MathePower

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Bezug
Orthonormalbasis von V: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:09 Mo 21.05.2012
Autor: yangwar1

Also ist [mm] x_1=-2c-2d. [/mm]

Ich erhalte nun also zwei Eigenvektoren(Basis des Kerns), wenn ich einmal c=1 und d=0 sowie c=0 und d=1 setze.

Dann muss ich noch eine Basis des Kerns zum Eigenwert 9i bestimmen. Habe ich dann bereits meine Orthonormalbasis?

Bezug
                                        
Bezug
Orthonormalbasis von V: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:20 Mo 21.05.2012
Autor: MathePower

Hallo yangwar1,

> Also ist [mm]x_1=-2c-2d.[/mm]
>  


Und wieder ein Vorzeichenfehler:

[mm]x_1=\blue{+}2c\blue{+}2d.[/mm]


> Ich erhalte nun also zwei Eigenvektoren(Basis des Kerns),
> wenn ich einmal c=1 und d=0 sowie c=0 und d=1 setze.
>
> Dann muss ich noch eine Basis des Kerns zum Eigenwert 9i
> bestimmen. Habe ich dann bereits meine Orthonormalbasis?


Nein, Du hast zunächst eine Basis gefunden.

Diese Basis muss noch orthonormiert werden.


Gruss
MathePower

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Algebra - Eigenwerte"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


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