Orthonormalbasis/Gram-Schmidt < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:16 Sa 22.01.2005 | | Autor: | kath |
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Hallo,
folgende Vektoren spannen einen Unterraum auf;
[mm] \vektor{1 \\ 2\\3} \vektor{3\\ 4\\1} \vektor{7 \\ -1\\3} \vektor{11 \\ 5\\7} [/mm]
ich soll die Orthonormalbasis mittels Gram-Schmidt bestimmen, meine Frage dazu:
muss ich zuerst bestimmen ob alle 4 Vektoren linear unabhängig sind, (also :muss ich zuerst eine "normale" Basis bestimmen)und wenn sie es nicht sind, von den verbleibenden dann die ONB bestimmen? oder muss ich einfach alle 4 als gegeben nehmen und die
lineare Unabhaengigkeit vergessen?
Gruss
kath
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Hallo kath,
nimm die 4 Vektoren als gegeben hin.
Mehr als 3 Vektoren sind in [mm]\IR^{3}[/mm] immer linear abhängig.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:06 So 23.01.2005 | | Autor: | kath |
Hallo,
dasversteh ich nicht ganz...
um eine ONB zu bestimmen, brauch ich doch eine Basis. Wenn aber einer der 4 Vektoren "zuviel", weil linear abhängig ist, dann kann ich ihn doch weglassen, auch bei der Ermittlung der ONB mit Gram-Schmidt?
oder seh ich das falsch?
Gruss Kath
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Hallo,
das siehst Du vollkommen richtig.
Aber das Problem ist, daß Du nicht weisst, welchen Vektor man weglassen kann. Um das zu prüfen, ist die lineare Unabhängigkeit notwendig.
Oder Du ziehst das Verfahren ohne wenn und aber durch.
Gruß
MathePower
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Hallo kath,
ich habe mir das mal ausgerechnet.Es ist so, daß für die überzähligen Vektoren der Nullvektor herauskommt.
Nun das heißt , daß hier nur 3 Vektoren gebraucht werden. Diese 3 Vektoren kann man also aus den 4 gegebenen Vektoren auswählen.
Welche Vektoren da genommen werden, bleibt Dir überlassen.
Ergo, werden ur Berechnung einer Orthonormalbasis in [mm]\IR^{3}[/mm] nur 3 Vektoren benötigt.
Gruß
MathePower
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