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Orthonormalbasis: Idee
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:04 Do 06.11.2014
Autor: Jonas123

Aufgabe
Gegeben seien die beiden Vektoren
a = (2; 1; 2) ; b = (-2; 0; 2)

   a) Zeigen Sie, dass die beiden Vektoren senkrecht aufeinander stehen.

   b) Zeigen Sie, dass die beiden Vektoren und der Vektor ~c = ~a ~b eine orthogonale Basis sind. Normieren Sie die Basisvektoren und stellen Sie damit eine Orthonormalbasis her.

   c) Stellen Sie den Vektor ~d = (2; 3; 4) in dieser Orthonormalbasis dar.

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Ich hänge bei der Orthonormalbasis.

zu a):  kein Problem: Skalarprodukt=0

zu b): Vektor c habe ich auch noch berechnet. c=(2,-8,2). Normieren klappt auch noch: Einfach Einheitsvektor bilden. Ab jetzt hänge ich. Ich weiss nicht wie ich die Orthonormalbasis aufstellen soll.
Mein Ansatz wäre, dass ich die normierten Vektoren jetzt einfach mit dem Orthogornalsymbol neben einander schreiben. Ist das richtig?

zu c): hier brauche ich definitiv einen Tipp wie ich anfangen muss. Die Vektoren a, b und c sind ja schon senkrecht zueinander, wie soll ich da den Vktor d einbauen?

Vielen Dank schon mal an alle, die sich an der Lösungssuche beteiligen.

Grüße Jonas

PS: Ist meine erste Frage hier, also nicht zu streng sein, wenn etwas nicht passt.

        
Bezug
Orthonormalbasis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:21 Do 06.11.2014
Autor: fred97


> Gegeben seien die beiden Vektoren
>  a = (2; 1; 2) ; b = (-2; 0; 2)
>
> a) Zeigen Sie, dass die beiden Vektoren senkrecht
> aufeinander stehen.
>  
> b) Zeigen Sie, dass die beiden Vektoren und der Vektor ~c =
> ~a ~b

Was soll das bedeuten ??? Da ich heute meinen Hellsehertag habe, lautet das bestimmt so:

   $c=a [mm] \times [/mm] b$.

Stimmts ?

> eine orthogonale Basis sind. Normieren Sie die
> Basisvektoren und stellen Sie damit eine Orthonormalbasis
> her.
>  
> c) Stellen Sie den Vektor ~d = (2; 3; 4) in dieser
> Orthonormalbasis dar.
>  Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>  
> Ich hänge bei der Orthonormalbasis.
>  
> zu a):  kein Problem: Skalarprodukt=0
>  
> zu b): Vektor c habe ich auch noch berechnet. c=(2,-8,2).
> Normieren klappt auch noch: Einfach Einheitsvektor bilden.

Vielleicht meinst Du das Richtige: bilde

[mm] a'=\bruch{a}{|a|}, b'=\bruch{b}{|b|} [/mm]  und  [mm] c'=\bruch{c}{|c|}, [/mm]

wobei $|*|$ die (euklidische) Länge eines Vektors bedeutet.





> Ab jetzt hänge ich. Ich weiss nicht wie ich die
> Orthonormalbasis aufstellen soll.
> Mein Ansatz wäre, dass ich die normierten Vektoren jetzt
> einfach mit dem Orthogornalsymbol neben einander schreiben.
> Ist das richtig?

Nein. Eine Eigenschaft des Kreuzproduktes [mm] \times [/mm] brauchst Du noch:

ist  $c=a [mm] \times [/mm] b$, so gilt: $c [mm] \perp [/mm] a$  und $c [mm] \perp [/mm] b$.

Wegen $a [mm] \perp [/mm] b$ ist dann die gewünschte ONB:

   [mm] \{a',b',c'\}. [/mm]

>  
> zu c): hier brauche ich definitiv einen Tipp wie ich
> anfangen muss. Die Vektoren a, b und c sind ja schon
> senkrecht zueinander, wie soll ich da den Vktor d
> einbauen?

Gesucht sind Skalare r,s und t mit:

$d=r*a'+s*b'+t*c'$

Das läuft auf ein LGS hinaus.

FRED

>  
> Vielen Dank schon mal an alle, die sich an der
> Lösungssuche beteiligen.
>  
> Grüße Jonas
>  
> PS: Ist meine erste Frage hier, also nicht zu streng sein,
> wenn etwas nicht passt.  


Bezug
                
Bezug
Orthonormalbasis: Aufgabe gelöst
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:06 Do 06.11.2014
Autor: Jonas123

Vielen Dank für die schnelle Antwort.

Das mit der undeutlichen Schreibweise tut mir leid, kommt nicht nochmal vor.

Habe nun die Aufgabe komplett gelöst, hätte ich ohne deine Hilfe nie geschafft. Also noch mal vielen Dank.

Grüße Jonas

Bezug
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