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Orthogonalraum: Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:09 Do 10.05.2012
Autor: chesn

Aufgabe
Sei [mm] (V,\Phi) [/mm] ein euklidischer Vektorraum der Dimension n und $ [mm] U,W\subseteq [/mm] V $ Untervektorräume.
Beweisen Sie folgende Gleichungen:

a) [mm] (U^{\perp})^\perp=U [/mm]

b) [mm] (U+W)^\perp=U^\perp\cap W^\perp [/mm]

c) [mm] (U\cap W)^\perp=U^\perp+W^\perp [/mm]

Hallo! Mit Bitte um Korrektur, falls ich irgendwo falsch liegen sollte:

Es gilt ja [mm] V=U\oplus U^\perp [/mm] also:

a) Sei $ [mm] x\in (U^{\perp})^\perp \gdw x\in (V\backslash U)^\perp \gdw x\in V\backslash (V\backslash [/mm] U) [mm] \gdw x\in [/mm] U $

b) Sei $ [mm] x\in (U+W)^\perp \gdw x\in V\backslash [/mm] (U+W) [mm] \gdw x\in V\backslash U\wedge x\in V\backslash [/mm] W [mm] \gdw x\in U^\perp \wedge x\in W^\perp \gdw x\in (U^\perp\cap W^\perp) [/mm] $

c) Hier habe ich anders herum angefangen: Sei [mm] $x\in (U^\perp [/mm] + [mm] W^\perp) \gdw x\in (V\backslash [/mm] U + [mm] V\backslash [/mm] W) [mm] \gdw x\in(V\backslash (U\cap [/mm] W) [mm] \gdw x\in (U\cap W)^\perp$ [/mm]

Alles nachvollziehbar so? Danke fürs drüberschauen!

Lieben Gruß
chesn

        
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Orthogonalraum: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:34 Do 10.05.2012
Autor: fred97

Da hast Du gewaltig etwas in den falschen Hals bekommen !

Es ist zwar $ [mm] V=U\oplus U^\perp [/mm] $, aber das bedeuten nicht, dass [mm] U^\perp= [/mm] V \ U ist.


Ist z.B. V= [mm] \IR^2 [/mm] und [mm] U=\{(x,0): x \in \IR\}, [/mm] so ist

             [mm] U^\perp=\{(0,y): y \in \IR\} [/mm]

FRED



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Orthogonalraum: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:45 Sa 12.05.2012
Autor: triad

Hallo,

zu a) $ [mm] (U^{\perp})^\perp=U [/mm] $

Folgendes habe ich mir bereits überlegt:

[mm] (U^{\perp})^\perp=\{v\in V | \phi(u,v)=0 \; \forall \; u\in U^\perp \} [/mm]

Außerdem: Sei [mm] u\in [/mm] U, [mm] u'\in U^\perp, u''\in (U^{\perp})^\perp, [/mm] dann gilt [mm] \phi(u,u')=0 [/mm] und [mm] \phi(u',u'')=0, [/mm] also ist $ [mm] u\perp [/mm] u' $ und $ [mm] u''\perp [/mm] u' $. Wenn also beide senkrecht zu u' sind, dann wäre es natürlich super, wenn man daraus folgern könnte, dass sie gleich sind.

Aber irgendwie komme ich nicht weiter.

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Orthogonalraum: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:49 Sa 12.05.2012
Autor: chesn

Hallo.. ein Beweis dazu []hier auf Seite 8.
Warum da direkt folgt dass [mm] U\subseteq (U^\perp)^\perp [/mm] ist mir auch noch nicht ganz schlüssig.

Was ich mir noch überlegt habe:

Wenn $ [mm] \phi(u,u')=0 [/mm] \ [mm] \forall [/mm] u' $ und $ [mm] \phi(u',u'')=0, [/mm] \ [mm] \forall [/mm] u'' $ dann ist doch auch $ [mm] \phi(u'',u')=0, [/mm] \ [mm] \forall [/mm] u' $ also:

$ [mm] \phi(u,u')=0 [/mm] \ [mm] \forall [/mm] u' $
$ [mm] \phi(u'',u')=0, [/mm] \ [mm] \forall [/mm] u' $

Könnte man eigentlich $ u=u'' $ folgern, oder?

Gruß
chesn

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Orthogonalraum: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:32 Sa 12.05.2012
Autor: davux

Es gibt zu Aufgabenteil a) auch in einigen Büchern Beweise. Zum Beispiel ist im Bosch "Lineare Algebra" auch einer. Ich habe auch einen in Schaum's Outline "Linear Algebra" gefunden.
Aber zunächst habe ich auch alles erstmal selbst ausprobiert. Ihr könnt euch doch sicher noch Erinnerung, wie man solche Gleichheiten für Mengen bewiesen habt. Man wählt sich ein Element aus der einen Seite, stellt gegebenenfalls zunächst die beschriebenen Beziehung auf dieser Seite noch etwas genauer dar, so dass man gegebenenfalls zwei Elemente hat, und ehe man sich versieht steht da, woraus sich klar die andere Seite folgern lässt.
Das ist hier in dem Fall garnicht so schwer. Schwierig ist vielleicht der Übergang von Durchschnitt auf Summe, wenn man es denn auf UND und ODER zurückgeführt hat, aber was bedeutet denn Summe von Vektorräumen?

Ob diese Dimensionsformel, die in chesns Link benutzt wird, schon bewiesen wurde, weiß ich nicht, aber man könnte [mm] $V=U\oplus U^{\perp}$ [/mm] ausnutzen.

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Orthogonalraum: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 16:33 So 13.05.2012
Autor: triad


> Hallo.. ein Beweis dazu
> []hier
> auf Seite 8.

Dein Link funktioniert bei mir zwar, aber firefox zeigt mir nur eine weiße seite.

Wie man $ [mm] U=(U^\perp)^\perp [/mm] $ zeigt, weiss ich noch immer nicht.
Was bedeutet z.B. [mm] u\in (U^\perp)^\perp [/mm] oder (von Aufgabenteil c)) [mm] v\in(U\cap W)^\perp [/mm] , wie kann man das umformen?

Bezug
                                        
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Orthogonalraum: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:20 Di 15.05.2012
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Orthogonalraum: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:46 Mo 14.05.2012
Autor: it123

Ich habe irgendwie Probleme die ii) zu beweisen:
Zeigen möchte ich es über eine doppelte Mengeninklusion:

Zuerst den Fall [mm] \subseteq: [/mm]
Sei v [mm] \in (U+W)^\perp [/mm] und u [mm] \in [/mm] U. Da u=u+0 [mm] \in [/mm] U+W ist, gilt:
[mm] 0=\Phi(u+0,v)=\Phi(u,v). [/mm] Daraus müsste ja dann folgen, dass v [mm] \in U^\perp [/mm] ist. Dass v [mm] \in U^\perp \cap W^\perp [/mm] dann liegt, sehe ich gerade leider nicht.

Bezug
                                        
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Orthogonalraum: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:49 Mo 14.05.2012
Autor: fred97


> Ich habe irgendwie Probleme die ii) zu beweisen:
>  Zeigen möchte ich es über eine doppelte
> Mengeninklusion:
>  
> Zuerst den Fall [mm]\subseteq:[/mm]
>  Sei v [mm]\in (U+W)^\perp[/mm] und u [mm]\in[/mm] U. Da u=u+0 [mm]\in[/mm] U+W ist,
> gilt:
>  [mm]0=\Phi(u+0,v)=\Phi(u,v).[/mm] Daraus müsste ja dann folgen,
> dass v [mm]\in U^\perp[/mm] ist. Dass v [mm]\in U^\perp \cap W^\perp[/mm]
> dann liegt, sehe ich gerade leider nicht.  

Sei v [mm] \in (U+W)^\perp. [/mm] Dann ist [mm] \phi(v,x)= [/mm] 0  für alle x [mm] \in [/mm] U+W.

Weil U Teilmenge von U+W ist, folgt: [mm] \phi(v,u)= [/mm] 0  für alle u [mm] \in [/mm] U, also

                 (1)  v [mm] \in U^\perp. [/mm]

Weil W Teilmenge von U+W ist, folgt: [mm] \phi(v,w)= [/mm] 0  für alle w [mm] \in [/mm] w, also

                 (2)  v [mm] \in W^\perp. [/mm]

Aus (1) und (2) folgt:

               v $ [mm] \in U^\perp \cap W^\perp [/mm] $

FRED



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Orthogonalraum: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 19:47 Mo 14.05.2012
Autor: it123

Dann versuch ich mal die Rückrichtung:

Sei v [mm] \in U^\perp [/mm] cap [mm] W^\perp. [/mm]
Dann gilt für alle u [mm] \in [/mm] U: [mm] \Phi(u,v)=0 [/mm] und für alle w [mm] \in [/mm] W [mm] \Phi(w,v)=0. [/mm]

Also:
[mm] 0=0+0=\Phi(u,v)+\Phi(w,v)=\Phi(u+w,v). [/mm] Da u+w [mm] \in [/mm] U+W ist, ist [mm] U^\perp [/mm] cap [mm] W^\perp \subseteq (U+W)^\perp [/mm]

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Bezug
Orthogonalraum: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:21 Mi 16.05.2012
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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