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| Aufgabe | Im Vektorraum [mm] \IR^{4x1} [/mm] ist ein Unterraum U durch die lineare Hülle der Vektoren
[mm] \vektor{4 \\ 0 \\ 2\\5}, \vektor{1 \\ 2 \\ 3 \\ 4} [/mm] gegeben. Man bestimme eine Orthogonalbasis von U und eine Orthogonalbasis von [mm] U\perp. [/mm] Weiters bestimme man die Matrix [mm] \Phi_{ee}(p) [/mm] der Orthogonalprojektion p:V->U (wobei V der VR ist wo wir uns befinden, also [mm] \IR^{4x1} [/mm] |
also was ich bisjetzt habe:
ich habe mittels Gram Schmidt eine Orthogonalbasis von U bestimmt, wobei [mm] b1=\vektor{4 \\ 0 \\ 2\\5}, b2=\vektor{1 \\ 2 \\ 3 \\ 4}
[/mm]
b1=c1
c2=b2 - [c1*b2/(c1*c1)]c1 = [mm] \vektor{3 \\ -2 \\ -1\\1}
[/mm]
(Kontrolle, c1*c2=0, passt)
so und jetzt, muss ich eine Basis von [mm] U\perp [/mm] bestimmen.
wie genau mache ich das? kann mir bitte jemand weiterhelfen?
Danke im Voraus
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:35 Mo 29.04.2013 | | Autor: | meili |
Hallo,
> Im Vektorraum [mm]\IR^{4x1}[/mm] ist ein Unterraum U durch die
> lineare Hülle der Vektoren
> [mm]\vektor{4 \\ 0 \\ 2\\5}, \vektor{1 \\ 2 \\ 3 \\ 4}[/mm]
> gegeben. Man bestimme eine Orthogonalbasis von U und eine
> Orthogonalbasis von [mm]U\perp.[/mm] Weiters bestimme man die
> Matrix [mm]\Phi_{ee}(p)[/mm] der Orthogonalprojektion p:V->U (wobei
> V der VR ist wo wir uns befinden, also [mm]\IR^{4x1}[/mm]
> also was ich bisjetzt habe:
>
> ich habe mittels Gram Schmidt eine Orthogonalbasis von U
> bestimmt, wobei [mm]b1=\vektor{4 \\ 0 \\ 2\\5}, b2=\vektor{1 \\ 2 \\ 3 \\ 4}[/mm]
>
> b1=c1
> c2=b2 - [c1*b2/(c1*c1)]c1 = [mm]\vektor{3 \\ -2 \\ -1\\1}[/mm]
>
> (Kontrolle, c1*c2=0, passt)
Dein Ansatz des Gram Schmidt Verfahren stimmt.
Bei der Berechnung hat sich aber ein Fehler eingeschlichen,
denn Skalarprodukt [mm] $c_1 [/mm] * [mm] c_2 \not= [/mm] 0$
>
> so und jetzt, muss ich eine Basis von [mm]U\perp[/mm] bestimmen.
>
> wie genau mache ich das? kann mir bitte jemand
> weiterhelfen?
Wenn Du zwei orthogonale Basisvektoren von U hast,
musst du über ein Gleichungssystem zwei zu beiden orthogonale
Vektoren bestimmen, die zueinander orthogonal (und damit linear unabhänig) sind.
>
> Danke im Voraus
Gruß
meili
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Hallo meili, zuerst einmal vielen Dank für deine Antwort.
zweitens ich bin in meinem Posting mit den Notationen etwas durcheinander gekommen, c2 ist natürlich zu b2 (1/2/3/4) orthogonal.
also ich muss die Vektoren jetzt so untereinander schreiben, dann habe ich
1 2 3 4 | 0 (-3*1. Zeile + 2.Zeile)
3 -2 -1 1 |0
-> 1 2 3 4 | 0
0 -8 -10 -11| 0 ..... -> und dann nach einigen Umformungen habe ich
1 0 4/8 10/8 | 0
0 1 10/8 4/8 | 0
ich brauche ja diese Einheitsmatrix und die habe ich nun, was mache ich jetzt (bzw. wäre es egal,ob ich die Einheitsmatrix in den 1. 2 Stellen oder letzten 2 Stellen habe?
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> Hallo meili, zuerst einmal vielen Dank für deine Antwort.
>
> zweitens ich bin in meinem Posting mit den Notationen etwas
> durcheinander gekommen, c2 ist natürlich zu b2 (1/2/3/4)
> orthogonal.
Hallo,
es geht jetzt darum, das Gleichungssystem
[mm] c_2*x=0
[/mm]
[mm] b_2*x=0
[/mm]
zu lösen?
>
> also ich muss die Vektoren jetzt so untereinander
> schreiben, dann habe ich
>
> 1 2 3 4 | 0 (-3*1. Zeile + 2.Zeile)
> 3 -2 -1 1 |0
>
> -> 1 2 3 4 | 0
> 0 -8 -10 -11| 0 ..... -> und dann nach einigen
> Umformungen habe ich
>
> 1 0 4/8 10/8 | 0
> 0 1 10/8 4/8 | 0
>
> ich brauche ja diese Einheitsmatrix
Welche?
Hm, vielleicht ahne ich, wovon Du sprichst: von dem "-1-Trick" mit dem Subtrahieren der Einheitsmatrix?
Du hast jetzt die reduzierte ZSF vorliegen.
Vergrößere die Matrix durch Zufügen von Nullzeilen auf eine quadratische:
[mm] \vmat{1& 0 &4/8 &10/8\\0 &1 &10/8 &4/8 \\0&0&0&0\\0&0&0&0}
[/mm]
Subtrahiere die Einheitsmatrix
[mm] \vmat{0& 0 &4/8 &10/8\\0 &0 &10/8 &4/8 \\0&0&-1&0\\0&0&0&-1}.
[/mm]
In den Nichtnullspalten hast Du eine Basis des Lösungsraumes stehen.
Das ist eine Basis von [mm] U^{\perp}.
[/mm]
Orthogonalisierung liefert Dir anschließend die gewünschte Orthogonalbasis von [mm] U^{\perp}.
[/mm]
LG Angela
> und die habe ich nun,
> was mache ich jetzt (bzw. wäre es egal,ob ich die
> Einheitsmatrix in den 1. 2 Stellen oder letzten 2 Stellen
> habe?
>
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Vielen Dank Angela, das war sehr gut erklärt.
um die Orthogonalbasis von [mm] U\perp [/mm] zu bekommen, gehe ich genauso vor wie bei der Orthogonalbasis von U (also Gram schmidt)?
und noch eine Frage, wie bestimme ich jetzt die Matrix der Orthogonalprojektion? Ich weiß, dass ich kanonische Basisvektoren brauche..
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:48 Do 02.05.2013 | | Autor: | fred97 |
> Vielen Dank Angela, das war sehr gut erklärt.
>
> um die Orthogonalbasis von [mm]U\perp[/mm] zu bekommen, gehe ich
> genauso vor wie bei der Orthogonalbasis von U (also Gram
> schmidt)?
Ja
>
> und noch eine Frage, wie bestimme ich jetzt die Matrix der
> Orthogonalprojektion? Ich weiß, dass ich kanonische
> Basisvektoren brauche..
Sei P die gesuchte Projektion, [mm] u_1,u_2 [/mm] eine Basis von U und [mm] u_3,u_4 [/mm] eine Basis von [mm] U^{\perp}.
[/mm]
Dann gilt [mm] P(u_1)=u_1, P(u_2)=u_2 [/mm] und [mm] P(u_3)=P(u_4)=0
[/mm]
FRED
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Also ich habe mir jetzt eine Orthogonalbasis von [mm] U\perp [/mm] berechnet,
mein [mm] c1=\vektor{\bruch{4}{8} \\ \bruch{10}{8} \\ -1 \\ 0}
[/mm]
mein [mm] c2=\vektor{37\\ -2 \\ 16 \\ -36}, [/mm] c1*c2=0, passt
(Frage: darf ich wenn ich Gram Schmidt anwende, die Vektoren vorher bzw. den Ergebnisvektor, kollinear machen?, weil ich wollte nicht mit Brüchen rechnen.....
aber fred97, ich verstehe jetzt leider trotzdem nicht wie ich diese Projektion machen muss :( könntest du das vieleicht etwas näher erläutern? Danke
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> Also ich habe mir jetzt eine Orthogonalbasis von [mm]U\perp[/mm]
> berechnet,
>
> mein [mm]c1=\vektor{\bruch{4}{8} \\ \bruch{10}{8} \\ -1 \\ 0}[/mm]
>
> mein [mm]c2=\vektor{37\\ -2 \\ 16 \\ -36},[/mm] c1*c2=0, passt
> (Frage: darf ich wenn ich Gram Schmidt anwende, die
> Vektoren vorher bzw. den Ergebnisvektor, kollinear machen?,
> weil ich wollte nicht mit Brüchen rechnen.....
Hallo,
Du willst jeden Vektor zuvor mit einem passenden Faktor multiplizieren?
Kannst Du machen.
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> aber fred97, ich verstehe jetzt leider trotzdem nicht wie
> ich diese Projektion machen muss :( könntest du das
> vieleicht etwas näher erläutern? Danke
Du hast jetzt eine OGB [mm] B':=(b_1, b_2) [/mm] von U und eine ONG [mm] B'':=(c_1, c_2) [/mm] von [mm] U^{\perp}.
[/mm]
Zusammen bilden sie eine OGB [mm] B=(b_1, b_2, c_1, c_2) [/mm] vom [mm] \IR^4.
[/mm]
Die Projektion p ist wie jede lineare Abbildung durch die Angabe ihrer Werte auf einer Basis eindeutig bestimmt.
Bei der othogonalen Projektion auf den Unterraum U haben wir
[mm] p(b_1)=b_1, p(b_2)=b_2, p(c_1)=0, p(c_2)=0.
[/mm]
Damit ist es leicht, die Darstellungsmatrix von p bzgl. der Basis B aufzustellen: in den Spalten stehen die Bilder der basisvektoren von B in Koordinaten bzgl B.
Eine Basistransformation liefert Dir anschließend die Darstellungsmatrix bzgl der Standardbasis E.
ODER
Du schreibst jeden Standardbasisvektor als Linearkombination der Vektoren von B, berechnest sein Bild und steckst das Ergebnis als Spalte in die Matrix.
LG Angela
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