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Orthogonalprojektion: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:00 Mo 14.05.2012
Autor: hando

Aufgabe
Sei V ein n-dimensionaler Euklidischer (unitärer) Vektorraum und P:V->V die Orthogonalprojektion auf einen Teilraum S. Bestimmen sie die Matrix A von P bzgl. einer Orthonormalbasis [mm] u_1,...u_n [/mm] von V. Finden sie eine Basis, so dass A eine besonders einfache Form annimmt.

Ich hab nun schon das gesammte Wochenende darüber nachgedacht und komme nicht einmal auf einen Ansatz zur Lösung. Wäre sehr nett wenn mir irgendjemand einen kleinen Tipp geben könnte, wie man diese Aufgabe am besten anpackt.


Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Orthogonalprojektion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:20 Mo 14.05.2012
Autor: fred97

Mach Dir klar, dass gilt, falls Ihr das noch nicht hattet:

1.   V=kern(P) [mm] \oplus [/mm] bild(P),

2.   [mm] kern(P)^\perp= [/mm] bild(P),

3.   P(x)=x  [mm] \gdw [/mm] x [mm] \in [/mm] bild(P).

Ist nun [mm] B_1 [/mm]  eine ONB von kern(P) und [mm] B_2 [/mm] eine ONB von bild(P), so ist, wegen 2., [mm] B=B_1 \cup B_2 [/mm] eine ONB von V.

Welche Gestalt hat die Abb.-Matrix von P bezüglich der Basis B ?

FRED

Bezug
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