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Orthogonalprojektion: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:24 Fr 11.05.2012
Autor: chesn

Aufgabe
Sei [mm] (V,\Phi) [/mm] ein euklidischer Vektorraum der Dimension n und [mm] $U\subseteq [/mm] V$ ein Untervektorraum. Es ist [mm] V=U\oplus U^\perp [/mm] und wir können die Abbildung

$ [mm] \pi [/mm] : [mm] V\to [/mm] V, \ [mm] \pi(v)=u [/mm] $ wobei $ v=u+w $ mit [mm] $u\in [/mm] U, [mm] w\in U^\perp$ [/mm]

betrachten (Orthogonalprojektion). Zeigen Sie:

a) [mm] \pi [/mm] ist ein Homomorphismus.

Hallo! Stoße hierbei auf ein Problem:

Zu zeigen ist ja $ [mm] \pi(\Phi(v_1,v_2))=\Phi(\pi(v_1),\pi(v_2)) [/mm] $ mit [mm] $v_1=u_1+w_1 [/mm] $ und [mm] $v_2=u_2+w_2$. [/mm]

Klar: [mm] \pi(v)=u [/mm] also [mm] \Phi(\pi(v_1),\pi(v_2))=\Phi(u_1,u_2). [/mm]

Nun ist aber

$ [mm] \pi(\Phi(v_1,v_2))=\pi(\Phi((u_1+w_1),(u_2+w_2)))=\pi(\Phi(u_1,u_2)+\Phi(u_1,w_2)+\Phi(w_1,u_2)+\Phi(w_1,w_2)) [/mm] \ \ [mm] \* [/mm] $

Nun sind [mm] w_i [/mm] und [mm] u_i [/mm] orthogonal zueinander, also [mm] \Phi(u_i,w_j)=0 [/mm] damit folgt:

[mm] $\* [/mm] \ [mm] =\pi(\Phi(u_1,u_2)+\Phi(w_1,w_2)) [/mm] $

Jetzt müsste aber [mm] \Phi(w_1,w_2)=0 [/mm] sein damit die Gleichheit [mm] \Phi(\pi(v_1),\pi(v_2))=\pi(\Phi(v_1,v_2)) [/mm] gilt. Aber [mm] w_1 [/mm] und [mm] w_2 [/mm] sind ja nicht orthogonal zueinander...
Was übersehe ich hier??

Danke und lieben Gruß,
chesn



        
Bezug
Orthogonalprojektion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:29 Fr 11.05.2012
Autor: hippias

Deine Beobachtung ist richtig; man haette die Aufgabe besser so formuliert: Zeigen Sie, dass [mm] $\pi$ [/mm] eine lineare Abbildung ist.

Bezug
        
Bezug
Orthogonalprojektion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:39 Fr 11.05.2012
Autor: fred97


> Sei [mm](V,\Phi)[/mm] ein euklidischer Vektorraum der Dimension n
> und [mm]U\subseteq V[/mm] ein Untervektorraum. Es ist [mm]V=U\oplus U^\perp[/mm]
> und wir können die Abbildung
>  
> [mm]\pi : V\to V, \ \pi(v)=u[/mm] wobei [mm]v=u+w[/mm] mit [mm]u\in U, w\in U^\perp[/mm]
>  
> betrachten (Orthogonalprojektion). Zeigen Sie:
>  
> a) [mm]\pi[/mm] ist ein Homomorphismus.
>  Hallo! Stoße hierbei auf ein Problem:
>  
> Zu zeigen ist ja [mm]\pi(\Phi(v_1,v_2))=\Phi(\pi(v_1),\pi(v_2))[/mm]
> mit [mm]v_1=u_1+w_1[/mm] und [mm]v_2=u_2+w_2[/mm].


Das ist doch Unsinn ! Was soll denn [mm] \pi(\Phi(v_1,v_2)) [/mm] sein ??

[mm] \pi [/mm] ist eine Abbildung, die auf V def. ist. Da kannst Du doch keine Zahlen einsetzen.

Zu zeigen ist: [mm] \pi [/mm] ist linear.

FRED

>  
> Klar: [mm]\pi(v)=u[/mm] also [mm]\Phi(\pi(v_1),\pi(v_2))=\Phi(u_1,u_2).[/mm]
>  
> Nun ist aber
>
> [mm]\pi(\Phi(v_1,v_2))=\pi(\Phi((u_1+w_1),(u_2+w_2)))=\pi(\Phi(u_1,u_2)+\Phi(u_1,w_2)+\Phi(w_1,u_2)+\Phi(w_1,w_2)) \ \ \*[/mm]
>  
> Nun sind [mm]w_i[/mm] und [mm]u_i[/mm] orthogonal zueinander, also
> [mm]\Phi(u_i,w_j)=0[/mm] damit folgt:
>  
> [mm]\* \ =\pi(\Phi(u_1,u_2)+\Phi(w_1,w_2))[/mm]
>  
> Jetzt müsste aber [mm]\Phi(w_1,w_2)=0[/mm] sein damit die
> Gleichheit [mm]\Phi(\pi(v_1),\pi(v_2))=\pi(\Phi(v_1,v_2))[/mm] gilt.
> Aber [mm]w_1[/mm] und [mm]w_2[/mm] sind ja nicht orthogonal zueinander...
>  Was übersehe ich hier??
>  
> Danke und lieben Gruß,
>  chesn
>  
>  


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Orthogonalprojektion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:57 Sa 12.05.2012
Autor: triad

Aufgabe
c) [mm] \pi [/mm] ist selbstadjungiert

Hallo,

hier muss man zeigen, dass [mm] \pi [/mm] selbstadjungiert ist, d.h. [mm] \tilde\pi=\pi. [/mm] Nach Definition der adjungierten Abb. ist [mm] \phi(\pi(v_1),v_2)=\phi(v_1,\tilde\pi(v_2)) [/mm]

Ich will also zeigen [mm] \phi(\pi(v_1),v_2)=\phi(v_1,\pi(v_2)): [/mm] Für [mm] v_1=u_1+w_1 [/mm] und [mm] v_2=u_2+w_2 [/mm] gelten

[mm] \phi(\pi(v_1),v_2)=\phi(u_1,u_2+w_2)=\phi(u_1,u_2)+\underbrace{\phi(u_1,w_2)}_{=0}=\phi(u_1,u_2)=\phi(u_1,\pi(v_2)). [/mm]

Das ist ja schon fast das, was ich will, aber [mm] u_1 [/mm] sollte noch [mm] v_1 [/mm] sein ...

mit freundlichem



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Orthogonalprojektion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:26 Sa 12.05.2012
Autor: chesn

Zeig doch einfach nacheinander:

[mm] \Phi(\pi(v_1),v_2)=\Phi(u_1,u_2) [/mm]

und danach entsprechend separat, dass auch

[mm] \Phi(v_1,\pi(v_2))=\Phi(u_1,u_2) [/mm]

gilt.

Edit: Bzw. ist ja $ [mm] \phi(u_1,u_2)=\phi(u_1+w_1,u_2). [/mm] $ weil [mm] \phi(w_1,u_2) [/mm] ja eh 0 ist.

Gruß
chesn

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Orthogonalprojektion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:31 Sa 12.05.2012
Autor: triad

Aufgabe
b) [mm] \pi^2 = \pi,\; Im\; \pi = U,\; Ker\; \pi = U^\perp [/mm]

Hi,

ja danke das stimmt und hat geholfen.

zur b):
Sei $ [mm] v\in [/mm] V, [mm] u\in [/mm] U $
[mm] \pi^2(v)=\pi\circ\pi(v)=\pi(\pi(v))=\pi(u)=\pi(u+0)=\pi(v) [/mm] denke das kann man so stehen lassen.

Bei dem Rest weiss ich die Definitionen
[mm] Ker\; \pi [/mm] = [mm] \{v\in V\; |\; \pi(v)=0 \} [/mm]
[mm] Im\; \pi [/mm] = [mm] \{v\in V\; |\;\exists\; r\in V:\pi(r)=v \} [/mm]

und dass [mm] \pi(v)=\pi(u+w)=0 [/mm] $ [mm] \forall\; [/mm] w $ nur dann, wenn $ u=0 $,
aber nicht so recht wie es nun weiter geht.


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Orthogonalprojektion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:14 Sa 12.05.2012
Autor: chesn

Ich glaube nicht, dass man da viel mehr zeigen kann..

[mm] Im(\pi) [/mm] ist ja das worauf [mm] \pi [/mm] abbildet, also U.

Wegen [mm] u\in [/mm] U und w [mm] \in U^\perp [/mm] sowie [mm] \pi(u+w)=u [/mm] ist [mm] Im(\pi)=U [/mm] und
[mm] ker(\pi)=U^\perp [/mm] denn für alle [mm] w\in U^\perp [/mm] gilt [mm] \pi(w)=0. [/mm]

Damit wäre meiner Meinung nach eigentlich auch schon alles gesagt.

gruß,
chesn

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Orthogonalprojektion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:59 So 13.05.2012
Autor: halonol

Wie kommst du jetzt noch mal darauf, dass:
$ [mm] \phi(w_1,u_2) [/mm] $ = 0 ist?

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Orthogonalprojektion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:38 Mo 14.05.2012
Autor: triad


> Wie kommst du jetzt noch mal darauf, dass:
>  [mm]\phi(w_1,u_2)[/mm] = 0 ist?

Nach Definition ist

$ [mm] \pi [/mm] : [mm] V\to [/mm] V, \ [mm] \pi(v)=u [/mm] $ wobei $ v=u+w $ mit $ [mm] u\in [/mm] U, [mm] w\in U^\perp.$ [/mm]

Wenn also $ [mm] u_1+w_1=v_1 \in [/mm] V $ und $ [mm] u_2+w_2=v_2 \in [/mm] V $ mit [mm] $u_1,u_2\in U$,$w_1,w_2\in U^\perp$ [/mm]
dann ist klar [mm] \phi(w_1,u_2)=0, [/mm] denn das Skalarprodukt von zwei senkrecht aufeinanderstehenden Vektoren ist Null.

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Orthogonalprojektion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:17 So 13.05.2012
Autor: halonol

zur a) Man soll ja zeigen, dass [mm] \pi [/mm] linear ist. Also habe ich für [mm] \pi [/mm] v,s [mm] \in [/mm] V eingesetzt. Also:
[mm] \pi(v+s)=\pi(u+w+t+z)=\pi(u+t+w+z)=u+t=\pi(u+w)+\pi(t+z) [/mm]
mit t [mm] \in [/mm] U und z [mm] \in U^\perp. [/mm] Also [mm] \pi [/mm] bildet ja immer die Elemente aus U ab. Daher [mm] \pi(u+t+w+z)=u+t. [/mm] Da für eine Abbildung dann das zweite Element egal ist, kann man ja [mm] u+t=\pi(u+w)+\pi(t+z) [/mm] setzen. Das müsste doch so stimmen?
Verstehe ehrlich gesagt auch nicht, warum chesn  $ [mm] \pi(\Phi(v_1,v_2))=\Phi(\pi(v_1),\pi(v_2)) [/mm] $ zeigen möchte.

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Orthogonalprojektion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:08 So 13.05.2012
Autor: triad


> zur a) Man soll ja zeigen, dass [mm]\pi[/mm] linear ist. Also habe
> ich für [mm]\pi[/mm] v,s [mm]\in[/mm] V eingesetzt. Also:
>  [mm]\pi(v+s)=\pi(u+w+t+z)=\pi(u+t+w+z)=u+t=\pi(u+w)+\pi(t+z)[/mm]
>  mit t [mm]\in[/mm] U und z [mm]\in U^\perp.[/mm] Also [mm]\pi[/mm] bildet ja immer
> die Elemente aus U ab. Daher [mm]\pi(u+t+w+z)=u+t.[/mm] Da für eine
> Abbildung dann das zweite Element egal ist, kann man ja
> [mm]u+t=\pi(u+w)+\pi(t+z)[/mm] setzen. Das müsste doch so stimmen?


i) [mm] \phi(v_1+v_2)=\phi(v_1)+\phi(v_2) [/mm] sollte stimmen, hier nochmal meine Variante:

Sei $ [mm] u_1+w_1=v_1 \in [/mm] V $ und $ [mm] u_2+w_2=v_2 \in [/mm] V $.

[mm] \phi(v_1+v_2)=\phi(u_1+w_1+u_2+w_2)=\phi(\underbrace{(u_1+u_2)}_{=:u}+\underbrace{(w_1+w_2)}_{=:w})=u=u_1+u_2=\phi(v_1)+\phi(v_2). [/mm]

bei ii) [mm] \phi(\lambda v)=\lambda\phi(v) [/mm] bin ich unsicher: Sei [mm] $\lambda\in [/mm] K$(?).

[mm] \phi(\lambda*v)=\phi(\lambda*(u+w)), [/mm] aber es ist ja dann nicht

[mm] \phi(\lambda*(u+w))=\phi(\lambda*u [/mm] + [mm] \lambda*w))=\lambda*u=\lambda*\phi(v), [/mm] oder?


>  Verstehe ehrlich gesagt auch nicht, warum chesn  
> [mm]\pi(\Phi(v_1,v_2))=\Phi(\pi(v_1),\pi(v_2))[/mm] zeigen möchte.

Das war wohl eher ein Fehlgedanke.



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Orthogonalprojektion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:07 So 13.05.2012
Autor: halonol

Ich habe jetzt doch hoffenltich nichts elementares übersehen, aber du meinst doch sicher  [mm] \Pi [/mm] anstatt [mm] \Phi, [/mm] oder?

Warum glaubst du, dass die Gleichheiten bei ii) nicht stimmen?

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Orthogonalprojektion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:27 So 13.05.2012
Autor: triad


> Ich habe jetzt doch hoffenltich nichts elementares
> übersehen, aber du meinst doch sicher  [mm]\Pi[/mm] anstatt [mm]\Phi,[/mm]
> oder?

>

Ja.

> Warum glaubst du, dass die Gleichheiten bei ii) nicht
> stimmen?

OK, [mm] \lambda\in\IR, [/mm] da es sich ja um einen euklidischen Vektorraum handelt.
Damit müssten i)-ii) dann also stimmen.

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