www.vorhilfe.de
- Förderverein -
Der Förderverein.

Gemeinnütziger Verein zur Finanzierung des Projekts Vorhilfe.de.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Mitglieder · Impressum
Navigation
 Startseite...
 Suchen
 Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status VH e.V.
  Status Vereinsforum

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Vektoren" - Orthogonalprojektion
Orthogonalprojektion < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Vektoren"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Orthogonalprojektion: Kreuzprodukt, Gerade, Ebene
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:39 Mi 03.12.2014
Autor: Skyrula

Aufgabe
Was ist die Orthogonalprojektion von [mm] \vektor{4 \\ 9 \\ 16} [/mm] in die von [mm] a=\vektor{1 \\ 4 \\ 9} [/mm] und [mm] b=\vektor{2 \\ 3 \\ 5} [/mm] aufgespannte Ebene, die den Punkt [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 0} [/mm] enthält.

Hallo zusammen, ich bin so vorgegangen:

1: Normalvektor von a und b durch Kreuzprodukt bilden:

[mm] axb=\vektor{-2*\frac{3}{4}-3*-\frac{2}{3} \\ 3*\frac{1}{2}-1*\frac{3}{4} \\ 1*-\frac{2}{3}-(-2)*\frac{1}{2} }=\vektor{\frac{1}{2} \\ \frac{3}{4} \\ \frac{1}{3}} [/mm]

2:Eine Gerade konstruieren, durch die Punkte [mm] \vektor{ \frac{1}{2} \\ \frac{3}{4} \\ \frac{1}{3}} [/mm] und [mm] \vektor{ 4 \\ 9 \\ 16} [/mm]

[mm] x=p_1+(p_2-p_1)=\vektor{\frac{1}{2} \\ \frac{3}{4} \\ \frac{1}{3}}+t\vektor{4-\frac{1}{2} \\ 9-\frac{3}{4} \\ 16-\frac{1}{3}}=\vektor{\frac{1}{2} \\ \frac{3}{4} \\ \frac{1}{3}}+t\vektor{\frac{7}{2} \\ \frac{33}{4} \\ \frac{47}{3}} [/mm]

3:Die Ebene konstruieren mit den Punkten a und b und dem Punkt s=(1,1,0)

[mm] x=s+\lambda *r_1+\mu *r_2 [/mm]
[mm] x=\vektor{ 1 \\ 1 \\ 0}+\lambda *\vektor{0 \\ 3 \\ 9}+\mu *\vektor{1 \\ 2 \\ 5} [/mm] mir [mm] r_1=\vektor{ 1-1 \\ 4-1 \\ 9-0} [/mm] und [mm] r_2=\vektor{ 2-1 \\ 3-1 \\ 5-0} [/mm]

4:Den Schnittpunkt errechnen, indem ich die Gerade=Ebene setze, um damit die einzelnen variablen durch die Komponentendarstellung errechnen zu können. Dabei bekomme ich aber echt seltsame Zahlen raus und ich denke mir das ich ein Fehler gemacht haben muss nur finde ich ihn nicht.

Hilfe wäre echt klasse!!! Vielen Dank im Voraus!

        
Bezug
Orthogonalprojektion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:52 Mi 03.12.2014
Autor: Arvi-Aussm-Wald

Hallo Skyrula, 

zunächst ist nicht klar, ob die von die angegebenen a und b nun Ortsvektoren bzw. Punkte sein sollen, oder Richtungsvektoren. Du rechnest als wären es Ortsvektoren, ich denke jedoch dass das die beiden Richtungsvektoren der Ebene sein sollen, da ja die Ebene eben duch diese beiden Vektoren aufgespannt werden soll.

Die Ebenengleichung müsste also: 

[mm] x=\vektor{ 1 \\  1 \\ 0}+\lambda *\vektor{1 \\ 4 \\ 9}+\mu *\vektor{2 \\ 3 \\ 5} [/mm]
lauten.

Wie du auf dein Kreuzprodukt axb kommt, verstehe ich leider nicht. Lies am besten nochmal nach, wie man das rechnet.

Die Schnittgrade mit welcher du dann entsprechend den Projektionspunkt auf der Ebene berechnen kannst, stellst du auf mit dem zugehörigen Ortsvektor zum Punkt (4/9/6) und eben dem richigen Normalenvektor axb.

Bezug
                
Bezug
Orthogonalprojektion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:50 Mi 03.12.2014
Autor: Skyrula

Hallo, ich habe grade gemerkt, dass ich in der Zeile der Aufgaben verrutscht bin, als ich die Aufgabe abgeschrieben habe.

a=(1,4,9) und b(2,3,5)

Also mein Normalvektor axb lautet demnach: [mm] \vektor{ 2 \\ 13 \\ 5} [/mm]

Die Gerade dazu lautet: [mm] \vektor{ 2 \\ 13 \\ 5}+t\vektor{ 4-2 \\ 9-13 \\ 16-5}=\vektor{ 2 \\ 13 \\ 5}+t\vektor{ 2 \\ -4 \\ 11} [/mm]

Meine Ebene lautet: [mm] \vektor{ 1 \\ 1 \\ 0}+\lambda \vektor{ 1 \\ 4 \\ 9}+ \mu \vektor{ 2 \\ 3 \\ 5} [/mm]

Nun setze ich die Ebene Gleich der Geraden:

[mm] \vektor{ 2 \\ 13 \\ 5}+t\vektor{ 2 \\ -4 \\ 1}=\vektor{ 1 \\ 1 \\ 0}+\lambda \vektor{ 1 \\ 4 \\ 9}+ \mu \vektor{ 2 \\ 3 \\ 5} [/mm] | [mm] -\vektor{ 1 \\ 1 \\ 0} |-t\vektor{ 2 \\ -4 \\ 11} [/mm]

So komme ich auf folgende Komponentendarstellung:

I     [mm] 1=\lambda +2\mu [/mm] -2t
II  [mm] 12=4\lambda +3\mu [/mm] -4t
III  [mm] 5=9\lambda +5\mu [/mm] -11t

Ist es denn jetzt korrekt bis hier hin?

Bezug
                        
Bezug
Orthogonalprojektion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:57 Mi 03.12.2014
Autor: fred97


> Hallo, ich habe grade gemerkt, dass ich in der Zeile der
> Aufgaben verrutscht bin, als ich die Aufgabe abgeschrieben
> habe.
>  
> a=(1,4,9) und b(2,3,5)
>
> Also mein Normalvektor axb lautet demnach: [mm]\vektor{ 2 \\ 13 \\ 5}[/mm]
>  
> Die Gerade dazu lautet: [mm]\vektor{ 2 \\ 13 \\ 5}+t\vektor{ 4-2 \\ 9-13 \\ 16-5}=\vektor{ 2 \\ 13 \\ 5}+t\vektor{ 2 \\ -4 \\ 11}[/mm]


Das stimmt doch nicht. Der Normalenvektor [mm]\vektor{ 2 \\ 13 \\ 5}[/mm] ist doch der Richtungsvektor der Gerade.

FRED


>  
> Meine Ebene lautet: [mm]\vektor{ 1 \\ 1 \\ 0}+\lambda \vektor{ 1 \\ 4 \\ 9}+ \mu \vektor{ 2 \\ 3 \\ 5}[/mm]
>  
> Nun setze ich die Ebene Gleich der Geraden:
>  
> [mm]\vektor{ 2 \\ 13 \\ 5}+t\vektor{ 2 \\ -4 \\ 1}=\vektor{ 1 \\ 1 \\ 0}+\lambda \vektor{ 1 \\ 4 \\ 9}+ \mu \vektor{ 2 \\ 3 \\ 5}[/mm]
> | [mm]-\vektor{ 1 \\ 1 \\ 0} |-t\vektor{ 2 \\ -4 \\ 11}[/mm]
>  
> So komme ich auf folgende Komponentendarstellung:
>  
> I     [mm]1=\lambda +2\mu[/mm] -2t
>  II  [mm]12=4\lambda +3\mu[/mm] -4t
>  III  [mm]5=9\lambda +5\mu[/mm] -11t
>  
> Ist es denn jetzt korrekt bis hier hin?


Bezug
                                
Bezug
Orthogonalprojektion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:11 Mi 03.12.2014
Autor: Skyrula

Könnte mir mal einer netter Weise zeigen, wie die Gleichung der Geraden aussehen muss?
Meine Ebene stimmt jetzt also?

Bezug
                                        
Bezug
Orthogonalprojektion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:14 Mi 03.12.2014
Autor: fred97


> Könnte mir mal einer netter Weise zeigen, wie die
> Gleichung der Geraden aussehen muss?


$x= [mm] \vektor{ 4 \\ 9 \\ 16}+t* \vektor{ 2 \\ 13 \\ 5}$ [/mm]

War das nett genug ?

> Meine Ebene stimmt jetzt also?

Ja

FRED


Bezug
                                                
Bezug
Orthogonalprojektion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:23 Mi 03.12.2014
Autor: Skyrula

Ja das war es, danke!

Jetzt setze ich die Gerade = Ebene und erhalte damit den Schnittpunkt und damit auch die Lösung.

Die Komponentendarstellung ist also:

I [mm] 4+2t=1+\lambda +2\mu [/mm]
II [mm] 9+13t=1+4\lambda+3\mu [/mm]
III [mm] 16+5t=9\lambda+5\mu [/mm]

korrekt?

Bezug
                                                        
Bezug
Orthogonalprojektion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:27 Mi 03.12.2014
Autor: fred97


> Ja das war es, danke!
>
> Jetzt setze ich die Gerade = Ebene und erhalte damit den
> Schnittpunkt und damit auch die Lösung.
>  
> Die Komponentendarstellung ist also:
>  
> I [mm]4+2t=1+\lambda +2\mu[/mm]
>  II [mm]9+13t=1+4\lambda+3\mu[/mm]
>  III [mm]16+5t=9\lambda+5\mu[/mm]
>  
> korrekt?


Ja

FRED

Bezug
                        
Bezug
Orthogonalprojektion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:03 Mi 03.12.2014
Autor: leduart

Hallo
welchen Sinn macht es von einem Punkt P=(4,9,16) den Normalenvektor abzuziehen? Die Gerade hat doch als Richtungsvektor den Normalenvektor, aus Aufpunkt  P
unterscheide in deinen Gedanken deutlich zwischen Punkten, veschrieben durch ihren prtsvektor und Vektoren, die man beliebig in [mm] \IR^3 [/mm] verschieben kann.
Gruß leduart

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Vektoren"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
ev.vorhilfe.de
[ Startseite | Mitglieder | Impressum ]