Orthogonalität einer Matrix < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:39 So 14.03.2010 | | Autor: | kushkush |
Hallo,
Um die Orthogonalität zu bestimmen, muss ja die transponierte Matrix gleich der Inversen sein?
Stimmt es, dass wenn die Determinante (der untransponierten Matrix) 1 oder -1 ist, Orthogonalität vorherrscht?
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt und bin für jede Antwort dankbar.
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> Hallo,
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> Um die Orthogonalität zu bestimmen, muss ja die
> transponierte Matrix gleich der Inversen sein?
Hallo,
komische Formulierung...
Orthogonale Matrizen sind die, bei denen die transponierte Matrix gleich der inversen ist, und damit hat man natürlich eine Möglichkeit, zu entscheiden, ob Orthogonalität vorliegt oder nicht.
Oft ist es bequemer, wenn man einfach guckt, ob die Spaltenvektoren den Betrag 1 haben und paarweise orthogonal sind.
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> Stimmt es, dass wenn die Determinante (der untransponierten
> Matrix) 1 oder -1 ist, Orthogonalität vorherrscht?
Vorherrscht?
Du meinst sicher, ob die Matrix dann orthogonal ist.
Nein, das stimmt nicht.
Richtig ist, daß orthogonale Matrizen immer die Determinante 1 oder -1 haben,
aber es gibt Matrizen mit der Det. 1 oder -1, welche nicht orthogonal sind.
Beispiel: [mm] \pmat {1&2&3\\0&1&4\\0&0&1}.
[/mm]
Gruß v. Angela
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> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt und
> bin für jede Antwort dankbar.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:40 So 14.03.2010 | | Autor: | kushkush |
Hi,
Mit Spaltenvektoren meinst du die 3 Spalten aus der sich zbsp. eine 3x3 Matrix zusammensetzt? Wenn die immer den Betrag 1 haben, dann wären ja alle orthogonalen Matrizen zwangsweise nur 1 und 0 ?
Reicht es auch, wenn ich die Transponierte Matrix mal die Matrix rechne, und dann die Einheitsmatrix erhalte, um die Orthogonalität zu beweisen?
Danke!
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> Hi,
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> Mit Spaltenvektoren meinst du die 3 Spalten aus der sich
> zbsp. eine 3x3 Matrix zusammensetzt?
Hallo,
ja.
> Wenn die immer den
> Betrag 1 haben, dann wären ja alle orthogonalen Matrizen
> zwangsweise nur 1 und 0 ?
Hä?
Was meinst Du damit?
[mm] \bruch{1}{5}\pmat{3&4\\-4&3} [/mm] ist orthogonal.
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> Reicht es auch, wenn ich die Transponierte Matrix mal die
> Matrix rechne, und dann die Einheitsmatrix erhalte, um die
> Orthogonalität zu beweisen?
Ja.
Gruß v. Angela
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>
> Danke!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:16 So 14.03.2010 | | Autor: | kushkush |
Der Betrag eines Vektors wird doch bestimmt durch [mm] $|\vec{x}|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$; [/mm] dadurch erhalte ich aber zbsp. bei $ [mm] \bruch{1}{5}\pmat{3&4\\-4&3} [/mm] $ Beispiel nicht 1 als Betrag für die beiden Spaltenvektoren?
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> Der Betrag eines Vektors wird doch bestimmt durch
> [mm]|\vec{x}|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}[/mm]; dadurch erhalte ich aber
> zbsp. bei [mm]\bruch{1}{5}\pmat{3&4\\-4&3}[/mm] Beispiel nicht 1
> als Betrag für die beiden Spaltenvektoren?
Hallo,
was erhältst Du denn?
Den Faktor vor der Matrix hast Du beachtet?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:31 So 14.03.2010 | | Autor: | kushkush |
Stimmt!!
Aber dann ist immer ein Faktor nötig, oder?
Danke!
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> Stimmt!!
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> Aber dann ist immer ein Faktor nötig, oder?
Ich war doch bloß zu faul, bei jedem Eintrag einen Bruch zu schreiben.
Ob der Faktor draußen vor steht, oder halt bei jedem Eintrag, ist völlig schnuppe.
Die Spalten der geposteten Matrix haben den Betrag 1, denn es ist doch [mm] \bruch{1}{5}*\pmat{3&4\\-4&3} [/mm] die Matrix mit den Brüchen in den Einträgen.
Gruß v. Angela
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