Orthogonales Komplement < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:46 Mi 24.08.2005 | | Autor: | SEcki |
Hallo,
Aus der linearen Algebra ist ja bekannt, dass [m]U\subset U^{\perp\perp}[/m] immer gilt, Gleichhiet nur für endliche Dimensionale VR. ein Beispiel für echte Inklusion ist zB der Raum der stetigen Funktionen mit allen Polynomen. Jetzt suche ich allerdings einen VR V und eine Folge von Unterräumen [m]U_n[/m] mit [m]U_{n+1}=U_n^{\perp\perp}[/m] und jeweils echter Inklusion. Mir fehlt etwas die Idee, wie man es sich konstruieren könnte.
SEcki
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:19 Do 25.08.2005 | | Autor: | choosy |
moin moin, ich frag mich grad ob das möglich ist, denn,
aus der funktionalanalysis wissen wir das in hilberträumen H mit unterraum M gilt:
[mm] $M^{\perp\perp} [/mm] = [mm] \overline{M}$
[/mm]
Also Angenommen es existiert eine solche Folge, dann ist
$ [mm] \overline{U_n} [/mm] = [mm] U_n^{\perp\perp} [/mm] = [mm] U_{n+1}$
[/mm]
Also ist [mm] $U_{n+1}$ [/mm] abgeschlossen. weiter ist.
$ [mm] U_{n+1}\subset U_{n+1} ^{\perp\perp} [/mm] = [mm] \overline{U_{n+1}}$
[/mm]
daraus folgt nun aber da [mm] $U_{n+1}$ [/mm] abgeschlossen ist, das
[mm] $U_{n+1} [/mm] = [mm] U_{n+1} ^{\perp\perp} [/mm] $
es wird also nix mit einer solchen folge mit echten inklusionen
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:43 Do 25.08.2005 | | Autor: | SEcki |
> moin moin, ich frag mich grad ob das möglich ist, denn,
> aus der funktionalanalysis wissen wir das in hilberträumen
> H mit unterraum M gilt:
Hilberträume sind aber schärfer - hier muss die Metrik vollständig sein! Notwendig für das Gegenbeispiel sind also: unendlich-dimensional und nicht vollständig mit der Metrik die durch das SKP induziert wird.
SEcki
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Hallo SEcki,
wenn die Metrik nicht vollständig ist, kannst Du sie ja in einen vollständigen Hilbertraum einbetten. Nachdem der Bi-Orthogonalraum gebildet ist, kannst Du ihn mit Deinem Prä-Hilbertraum schneiden:
Dann erhältst Du nach diesem 1. Schritt keine neuen Elemente mehr.
Der Antwort von Choosy schließe ich mich also an.
Grüße, Richard
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