Orthogonale Zerlegung < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | a) Für die Vektoren
u=(1,1)
v=(0,3)
berechne man die orthogonale Zerlegung in x und y von u längs v. Man veranschauliche die Rechnung anhand einer Skizze.
b) Wie lautet die orthogonale Zerlegung von u längs v für
u=(1,1)
v=(-11) |
a)
[mm] x=\bruch{u*v}{|v|^2}*v=\bruch{3}{3^2}*\vektor{0 \\ 3}=\vektor{0 \\ 1}
[/mm]
[mm] y=u-\bruch{u*v}{|v|^2}*v=\vektor{1 \\ 1}-\vektor{0 \\ 1}=\vektor{1 \\ 0}
[/mm]
die skizze:
![[a]](/images/paperclip.gif "Dateianhänge") [Bild Nr. 1 (fehlt/gelöscht)]
stimmt die Lösung?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:50 Sa 09.04.2016 | | Autor: | leduart |
Hallo
soweit ich das lesen kann richtig, Zeichnung fehlt.
Gruß leduart
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hallo,
das bild kann ich aufgrund von serverproblemen nicht hochladen
b)
[mm] x=\bruch{u*v}{|v|^2}*v=\bruch{-1+1}{2}*\vektor{-1 \\ 1}=\vektor{0 \\ 0}
[/mm]
[mm] y=u-\bruch{u*v}{|v|^2}*v=\vektor{1 \\ 1}-\vektor{0 \\ 0}=\vektor{1 \\ 1}
[/mm]
stimmt die lösung?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:27 Sa 09.04.2016 | | Autor: | fred97 |
> hallo,
>
> das bild kann ich aufgrund von serverproblemen nicht
> hochladen
>
> b)
>
> [mm]x=\bruch{u*v}{|v|^2}*v=\bruch{-1+1}{2}*\vektor{-1 \\ 1}=\vektor{0 \\ 0}[/mm]
>
> [mm]y=u-\bruch{u*v}{|v|^2}*v=\vektor{1 \\ 1}-\vektor{0 \\ 0}=\vektor{1 \\ 1}[/mm]
>
> stimmt die lösung?
Ja
fred
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| Aufgabe | a)
Für die Vektoren
u=(0,1,2), v=(2,1,0), w=(3,0,4)
berechne man die orthogonale zerlegung in x und y von u langs v und von u längs w.
b)
Gegeben [mm] v=(v_1, v_2)\in\IR^2 [/mm] mit [mm] v_2>0. [/mm] Man berechne die orthogonale Zerlegung von v längs [mm] u=e_1=(1,0) [/mm] und zeige dann mithilfe des Winkels [mm] \alpha [/mm] zwischen u und v:
[mm] v=|v|*\vektor{cos\alpha\\ sin\alpha} [/mm] |
a)
orthogonale Zerlegung von u längs v:
[mm] x=\bruch{u*v}{|v|^2}*v=\bruch{1}{5}*\vektor{2 \\ 1\\ 0}=\vektor{\bruch{2}{5} \\ \bruch{1}{5}\\ 0}
[/mm]
[mm] y=u-x=\vektor{0 \\ 1\\ 2}-\vektor{\bruch{2}{5} \\ \bruch{1}{5}\\ 0}=\vektor{-\bruch{2}{5} \\ \bruch{4}{5}\\ 2}
[/mm]
orthogonale Zerlegung von u längs w:
[mm] x=\bruch{u*w}{|w|^2}*w=\bruch{8}{25}*\vektor{3\\ 0\\ 4}=\vektor{\bruch{24}{25} \\ 0\\ \bruch{32}{25}}
[/mm]
[mm] y=u-x=\vektor{0 \\ 1\\ 2}-\vektor{\bruch{24}{25} \\ 0\\ \bruch{32}{25}}=\vektor{-\bruch{24}{25} \\ 1\\ \bruch{18}{25}}
[/mm]
stimmen die lösungen?
b)
orthogonale Zerlegung von v längs u:
[mm] x=\bruch{v*u}{|u|^2}*u=\bruch{\vektor{|v|*cos\alpha\\ |v|*sin\alpha}*\vektor{1\\ 0}}{1}*\vektor{1\\ 0}=|v|*cos\alpha*\vektor{1\\ 0}=\vektor{|v|*cos\alpha\\ 0}
[/mm]
[mm] y=v-x=\vektor{|v|*cos\alpha\\ |v|*sin\alpha}-\vektor{|v|*cos\alpha\\ 0}=\vektor{0\\ |v|*sin\alpha}
[/mm]
ist das soweit richtig?
Was genau soll ich noch bei b) zeigen? habe das nicht ganz verstanden?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:25 Fr 15.04.2016 | | Autor: | leduart |
Hallo
bei b) benutzt du das was du zeigen sollst!
[mm] v=\vektor{v1 \\ v2} [/mm] zerlegt in Richtung [mm] e1=\vektor{1\\ 0} [/mm] ergibt einfach [mm] \vektor{v1 \\ 0} [/mm] und [mm] \vektor{0 \\ v2} [/mm]
andererseits hast du [mm] =|v|*cos(\apha)
[/mm]
daraus sollst du die Behauptung zeigen (die du als bekannt vorausgesetzt hast.
Gruss leduart
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Hallo,
> andererseits hast du [mm]=|v|*cos(\alpha)[/mm]
> daraus sollst du die Behauptung zeigen (die du als bekannt
> vorausgesetzt hast.
die schreibweise: [mm][/mm] kenne ich nicht, aber anhand der gleichung nehme ich an, dass das der Skalarprodukt zwischen [mm]v[/mm] und [mm] e_1 [/mm] sein soll. Aber wozu brauche ich die Gleichung? Für meine Lösung habe ich sie nicht gebraucht. (siehe unten)
Wenn ich die Aufgabe richtig verstanden habe, dann soll ich zeigen das die folgende Gleichung gilt:
[mm] v=|v|*\vektor{cos\alpha\\ sin\alpha}
[/mm]
Es liegt folgende Situation vor
[Dateianhang nicht öffentlich]
Es gilt:
[mm] v=\vektor{x \\ y}=\vektor{|v|*cos\alpha\\ |v|*sin\alpha}
[/mm]
ist die aufgabe damit gelöst?
Ich habe die Gleichung [mm]=|v|*cos(\alpha)[/mm] nicht gebraucht
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Hallo,
> Wenn ich die Aufgabe richtig verstanden habe, dann soll ich
für [mm] v=\vektor{v_1\\v_2} [/mm] mit [mm] v_2>0
[/mm]
> zeigen das die folgende Gleichung gilt:
>
> [mm]v=|v|*\vektor{cos\alpha\\ sin\alpha}[/mm]
Los geht's:
> Es liegt folgende Situation vor
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
In Deinem Bildchen hast Du die orthogonale Zerlegung entlang [mm] e_1 [/mm] eingezeichnet, x ist dabei [mm] x=v_1 [/mm] und [mm] y=v_2,
[/mm]
denn [mm] v=\vektor{v_1\\v_2}=v_1e_1+v_2e_2.
[/mm]
Wie groß sind [mm] v_1 [/mm] und [mm] v_2 [/mm] denn?
[mm] sin\alpha=\bruch{v_2}{|v|}, cos\alpha=\bruch{v_1}{|v|}.
[/mm]
Also ist [mm] v=\vektor{v_1\\v_2}=...
[/mm]
LG Angela
>
> Es gilt:
>
> [mm]v=\vektor{x \\ y}=\vektor{|v|*cos\alpha\\ |v|*sin\alpha}[/mm]
>
> ist die aufgabe damit gelöst?
>
> Ich habe die Gleichung [mm]=|v|*cos(\alpha)[/mm] nicht
> gebraucht
>
>
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Hallo,
> > Wenn ich die Aufgabe richtig verstanden habe, dann soll ich
>
> für [mm]v=\vektor{v_1\\v_2}[/mm] mit [mm]v_2>0[/mm]
> > zeigen das die folgende Gleichung gilt:
> >
> > [mm]v=|v|*\vektor{cos\alpha\\ sin\alpha}[/mm]
Eigentlich ist es doch egal ob [mm] v_2 [/mm] größer oder kleiner Null ist oder?
Man kommt auch bei [mm] v_2<0 [/mm] zum folgenden Erdgebnis:
[mm]sin\alpha=\bruch{v_2}{|v|}, cos\alpha=\bruch{v_1}{|v|}.[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:20 Mi 20.04.2016 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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