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Orthogonale Projektion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:13 Do 20.09.2007
Autor: barsch

Aufgabe
V sei ein Skalarproduktraum, U ein UVR (Untervektorraum) mit Orthonormalbasis [mm] (u^1,u^2,...,u^m) [/mm] und [mm] P_U [/mm] die orthogonale Projektion auf U. Zeige:

[mm] \parallel P_{U}v \parallel^2=\summe_{j=1}^{m}||^2 [/mm]

Hi,

ich habe mir folgendes gedacht:

Erst einmal die Definition aus der VL: [mm] P_U:V \to [/mm] V, [mm] v\mapsto\summe_{j=1}^{m}u^j [/mm]

Das heißt doch

[mm] \parallel P_{U}v \parallel^2= [/mm]

Definition einsetzen:

[mm] =<\summe_{j=1}^{m}u^j|\summe_{j=1}^{m}u^j> [/mm]

[mm] =\summe_{j=1}^{m}<\green{u^j}|\red{u^j}> [/mm]

[mm] =\summe_{j=1}^{m}\summe_{i=1}^{m}<\green{u_i}|\red{u_j}> [/mm]

da [mm] (u^1,u^2,...,u^m) [/mm] Orthogonalbasis [mm] =\delta_{i}^{j}=\begin{cases} 1, & \mbox{für } i \mbox{ =j} \\ 0, & \mbox{} \mbox{ sonst} \end{cases} [/mm]

[mm] =\summe_{j=1}^{m}\delta_{i}^{j} [/mm]

[mm] =\summe_{j=1}^{m}||^2 [/mm]

Etwas unübersichtlich wegen der ganzen Skalarprodukte, aber ich hoffe ihr blickt durch und könnt mir sagen, ob meine Vorgehensweise so richtig ist.

Danke.


MfG barsch
        
Bezug
Orthogonale Projektion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:40 Do 20.09.2007
Autor: rainerS

Hallo,

ja, das sieht gut aus, bis auf zwei Kleinigkeiten:
1. in der zweiten Zeile fehlt das zweite Summenzeichen; es taucht in der dritten Zeile wieder auf.  Dort summierst du zweimal über j, eines davon sollte ein i sein. War wohl ein Fehler bei der Eingabe.
2. Du machst eine Umformung, die nur in einem reellen Vektorraum gilt, nicht in einem komplexen:

[mm] <\green{u^i}|\red{u^j}> [/mm]  = [mm] <\green{u^i}|\red{u^j}> [/mm]

Richtig ist

[mm] <\green{u^i}|\red{u^j}> [/mm]  = [mm] \overline{} <\green{u^i}|\red{u^j}> [/mm]

Das ändert nichts am Ergebnis, weil

[mm]\overline{} =||^2[/mm]

ist.

Viele Grüße
   Rainer
Bezug
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