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haallloo ihr,
ich soll die orthogonalprojektion von w=(1,0,1)=^t auf L bestimmen. L ist definiert durch:
x+y+z=1
x-2y+z=3
Ich habe jetzt dieses Gls gelöst und damit den lösungsraum des Gleichungssystems bestimmt. Hier bin ich auf [mm] <\vektor{0 \\ 0 \\ 1},\vektor{-1/3 \\ -2/3 \\ 0} [/mm] gekommen. Diese stehen senkrecht aufeinander und nun normiere ich den zweiten vektor: Die orthonormalbasis ist dann [mm] b_1= \vektor{0 \\ 0 \\ 1}, b_2=\bruch{1}{\wurzel{\bruch{5}{9}}} \vektor{-1/3 \\ -2/3 \\ 0}
[/mm]
Und dann gilt folgendes: Das [mm] u\in [/mm] L, für welches der Abstand b-u minimal ist, sodass also dieses u die Orthogonalprojektion von [mm] (1,0,1)^t [/mm] auf L wird so berechnet:
u=QQ^tb , wobei Q die Matrix ist, deren Saplkten die Orthonormalbasiselemente sind. (Kann mir jemand erklären warum diese Gleichung gilt?=)
So dann komme ich durch einsetzen auf u= [mm] \vektor{1/9 \\ -2/9 \\ 5/9}
[/mm]
ich hoffe das das so stimmt...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:15 Di 11.09.2007 | | Autor: | koepper |
Hallo du 
die Art, wie du das Problem formulierst läßt den Verdacht aufkommen, daß du hier mit mathematischen Begriffen jonglierst, ohne dir den Sachverhalt hinreichend anschaulich und klar zu machen. Überlege dir bitte zunächst, daß durch die beiden linearen Gleichungen eine Gerade im Raum [mm] R^3 [/mm] definiert ist. Diese Gerade geht offensichtlich nicht durch den Ursprung (Der Nullvektor löst das LGS nicht, denn es ist nicht homogen). Die Lösungsmenge (NICHT LösungsRAUM, denn Untervektorräume müssen immer den Nullvektor enthalten) nennt man auch "Nebenklasse".
Geometrisch betrachtet hast du für die orthogonale Projektion jetzt einfach z.B. mit dem Lotfusspunktverfahren [mm] (1,0,1)^T [/mm] auf die Gerade zu projezieren. Das solltest du schaffen.
Zur Kontrolle: Der LFP ist (5/6 | -2/3 | 5/6).
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ja das war ein Fehler. Aber, wie ist das , wenn man nun die Aufgabe hat, die orthogonalproektin auf einen Unterraum zu bestimmen. Dann ahbe ich gelesen, dass man da so amchen kann, wie ich es gemacht habe. Ich weiß, was Orthogonalprojektion bedeutet, aber mir fehlt irgendwie das wissen, wie ich es berechne.
Also aus der Schule die Sachen sind mir auch klar. Lotfußpunkt etc...
Nur dann war mein Verfahren ja definitv falsch..oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:42 Di 11.09.2007 | | Autor: | koepper |
Die orthogonale Projektion auf einen Unterraum U (nicht auf eine Nebenklasse) ist eine lineare Abbildung, kann also durch eine Matrix repräsentiert werden. Dazu bastelt man sich eine Matrix M mit Bild M = U und kern M = [mm] U^{ortho}.
[/mm]
Am einfachsten gibst du zuerst eine Basis von U an und vervollständigst sie zu einer Basis des gesamten Vektorraums, dann orthogonalisieren (z.B. Gram-Schmidt),, dann mit einem LGS die Matrix bestimmen, die die Bedingungen erfüllt. Versuch mal, dir das selbst zu erarbeiten. Nur so verstehst du es wirklich.
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In meinem Script wird aber gesagt, dass b-u im Orthogonalen Komplement vom Unterraum liegen soll. Jetzt ist es hier kein Unterraum ,aber eigentlich gehe ich davon aus, dass es ja hier auch gelten muss.
Das heißt in diesem Fall müsste b-u senkrecht auf der geraden stehehn, aber das ist nicht der fall oder?
Was ist wenn ich ein fach einen Unterraum U gegeben habe, da kann ich ja nicht von einer geraden ausgehen und da müss in [mm] U^t [/mm] ja alle Vektoren liegen, die orthogonal zu denen im unterraum sind.
oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:49 Di 11.09.2007 | | Autor: | koepper |
genau so ist es. Im Prinzip mußt du nur eine Basis des Unterraums U angeben und eine Basis des orthogonalen Komplementes. Ein zu projezierender Vektor wird jetzt zuerst in Koordinatendarstellung bezüglich dieser Basis transformiert, dann hält man alle Koordinaten, die zu den Vektoren der Basis von U gehören konstant und setzt alle Koordinaten die zu Basisvektoren des orthogonalen Komplementes gehören gleich Null. Damit ist die Projektion fertig. Das Ergebnis muß nur noch zurücktransformiert werden in die Darstellung bezüglich deiner ursprünglichen Basis.
Was ich jetzt hier in Form von 3 Schritten beschrieben habe, läßt sich sehr eleganz durch das Produkt von 3 Matrizen in der Form $B [mm] \cdot [/mm] P [mm] \cdot B^{-1}$ [/mm] ausdrücken. Überlege selbst, wie diese Matrizen genau aussehen müssen.
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ich bastel mir das gleich mal für den zweidimensionalen vektorraum. weil ansonsten wird das für eine zwischenprüfung eh zu aufwendig oder?
wenn ich allerdings n Vektoren [mm] a_1,...,a_n [/mm] habe die einen Unterraum U aufspannen, und wir das p in U suchen , so, dass b-p im orthogonalen komplement zu U und minmalen Abstand hat.
dann habe ich folgendes gefunden: [mm] =0 [/mm] i=1,...,n
denn b-p soll ja senkrecht auf [mm] (a_i)'s [/mm] stehen.
[mm] [/mm] - [mm] =0 [/mm] <=> [mm] = [/mm] <=> [mm] (a_i)^tb [/mm] = [mm] (a_i)^tp
[/mm]
Dann kann man bei n Vektoren diese ai's als Matrix schreiben und es gilt A^tb=A^tp
was mich aber hier auch wundert, ist dass die [mm] (a_i)'s [/mm] ja die Basis des Unterraumes ist und ich die ja nicht einfach in die Matrix schreiben kann(sondern eben die Bilder der Basis) nur womit bilde ich ab??
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> ich bastel mir das gleich mal für den zweidimensionalen
> vektorraum. weil ansonsten wird das für eine
> zwischenprüfung eh zu aufwendig oder?
Hallo,
ich denke, daß das in der Prüfung beliebigdimensional verhandelt werden kann.
Ich glaube kaum, daß man sich für konkrete Rechnereien interessieren wird, sondern eher dafür, ob Du weißt, was eine Orthogonalprojektion ist, und wie man prinzipiell das Bild eines Vektors unter der Orthogonalprojektion auf einen vorgegebenen Unterraum findet.
Wichtig ist also zunächst, daß Du weißt, was eine Orthogonalprojektion ist, also die Def. Eine Orthogonalprojektion ist ja eine lineare Abbildung mit bestimmten Eigenschaften.
Sei nun p eine Orthogonalprojektion auf einen Unterraum U von V.
Für einen vorgegebenen Vektor v findest Du p(v) wie folgt:
Der Unterraum U hat eine Basis [mm] (u_1,...,u_k).
[/mm]
Es ist [mm] V=U\oplus U^{\perp}, [/mm] es kann also [mm] (u_1,...,u_k) [/mm] durch Vektoren [mm] u_{k+1},...,u_n \in U^{\perp} [/mm] zu einer Basis des V ergänzt werden.
Dann kann man v schreiben als Linearkombination dieser Vektoren, [mm] v:=\summe_{i=1}^na_iu_i,
[/mm]
und es ist [mm] p(v)=\summe_{i=1}^ka_iu_i. [/mm]
Nun solltest Du Dir noch überlegen, wie die darstellende Matrix von p für diese Basis aussieht.
> was mich aber hier auch wundert, ist dass die $ [mm] (a_i)'s [/mm] $ ja die Basis des Unterraumes ist und ich die ja nicht
> einfach in die Matrix schreiben kann(sondern eben die Bilder der Basis) nur womit bilde ich ab??
Na, mit Deiner Projektion.
Gruß v. Angela
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Mein Problem ist hier eigentlich nur, dass ich nicht genau weiß wie ich dieses p, meine Orthogonalprojektion verwenden soll wenn ich p(v) ausrechne...Es wird doch immer ein Vektor gegeben, dessen orthogonalprojektion auf den Unterraum ich bestimmen soll...Also habe ich die ja nicht,,,
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> Mein Problem ist hier eigentlich nur, dass ich nicht genau
> weiß wie ich dieses p, meine Orthogonalprojektion verwenden
> soll wenn ich p(v) ausrechne...Es wird doch immer ein
> Vektor gegeben, dessen orthogonalprojektion auf den
> Unterraum ich bestimmen soll...Also habe ich die ja
> nicht,,,
>
Ich habe Dir doch im vorhergehenden Post genau beschrieben, wie das geht.(?)
Wenn Du die orthogonale Projektion von v auf U berechnen sollst, ist das zu tun, was ich dort gesagt habe.
Die orthogonale Projektion auf U bildet alle vektoren, die senkrecht zu U sind, auf die Nullab, und alle, die [mm] \in [/mm] U sind, bleiben unverändert.
Gruß v. Angela
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