Orthogonale Matrizen < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:34 Mo 04.10.2010 | | Autor: | Foxy333 |
| Aufgabe | Sei A:= [mm] \bruch{1}{2} \pmat{ 1 & 4 \\ 4 & 17 }. [/mm]
A definiert ein Skalarprodukt.
Finden sie ein [mm] W\in M_{2}(\IR) [/mm] mit A= [mm] W^{T}*W. [/mm] |
Also diese Aufgabe versteh ich nicht.
Ich weiß, dass A positiv definit ist, und daher existiert ein [mm] W\in M_{2}(\IR) [/mm] ,sodass A= [mm] W^{T}*W. [/mm] gilt.
Nur wie berechne ich dieses W?
Was außerdem bekannt ist, ist wenn W eine orthogonale Matrix ist, dann gilt:
[mm] W*W^{T}=E [/mm]
Aber weiter bin ich zu dieser Aufgabe noch nicht gekommen.
Kann mir jemand weiterhelfen?
|
|
| |
|
> Sei A:= [mm]\bruch{1}{2} \pmat{ 1 & 4 \\
4 & 17 }.[/mm]
> A definiert ein Skalarprodukt.
> Finden sie ein [mm]W\in M_{2}(\IR)[/mm] mit A= [mm]W^{T}*W.[/mm]
> Also diese Aufgabe versteh ich nicht.
Hallo,
wieso verstehst Du die Aufgabe nicht?
Der Auftrag ist doch klar formuliert, oder?
> Ich weiß, dass A positiv definit ist, und daher existiert
> ein [mm]W\in M_{2}(\IR)[/mm] ,sodass A= [mm]W^{T}*W.[/mm] gilt.
> Nur wie berechne ich dieses W?
Du könntest es wie folgt machen:
die Matrix ist symmetrisch, also ist sie orthogonal diagonalisierbar und zwar mit einer Diagonalmatrix, welche nur pos. Zahlen auf der Hauptdiagonalen hat.
Wenn Du diese Diagonalisierung dastehen hast, solltest Du auf jeden Fall weiterkommen.
[Irgendwie hab' ich auch dumpf im Hinterkopf, daß es für das, was Du tun sollst, einen Algorithmus gibt. Wie gesagt: dumpf im Hinterkopf...]
Gruß v. Angela
> Was außerdem bekannt ist, ist wenn W eine orthogonale
> Matrix ist, dann gilt:
> [mm]W*W^{T}=E[/mm]
> Aber weiter bin ich zu dieser Aufgabe noch nicht gekommen.
> Kann mir jemand weiterhelfen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:54 Mo 04.10.2010 | | Autor: | Foxy333 |
danke für die antwort.
soweit ich das verstanden habe, sind symmetrische Matrizen orthogonal diagonalisierbar, also sind die Eigenvektoren zu allen Eigenwerten , zueinander orthogonal und sind Spalten einer Übergangsmatrix S ,sodass gilt:
[mm] D=S^{-1} [/mm] * A*S
aber wie soll mir das helfen?
|
|
|
| |
|
> danke für die antwort.
> soweit ich das verstanden habe, sind symmetrische Matrizen
> orthogonal diagonalisierbar, also sind die Eigenvektoren zu
> allen Eigenwerten , zueinander orthogonal und sind Spalten
> einer Übergangsmatrix S ,sodass gilt:
> [mm]D=S^{-1}[/mm] * A*S
> aber wie soll mir das helfen?
>
Hallo,
wie du selbst geschrieben hast, ist die Matrix orthogonal diagonalisierbar, d.h.
[mm] $$A=S^{\red{T}}DS$$
[/mm]
dabei ist D diagonal mit positiven Einträgen, d.h. du kannst [mm] D=D^{1/2}D^{1/2} [/mm] schreiben.
Nun klar, wie du dann dein W definieren kannst?
Gruß Patrick
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:28 Mo 04.10.2010 | | Autor: | Foxy333 |
mhm...mir ist spontan gerade was eingefallen:
A ist symmetrisch und definiert ein Skalarprodukt.
Wenn man Vektoren aus [mm] R^2 [/mm] nimmt, die orthogonormal sind bezogen auf das Skalarprodukt von A, dann wäre doch : [mm] E=S^{T}*A*S
[/mm]
und mit Umformungen: [mm] S*S^{T}=A
[/mm]
und somit wäre: [mm] W=S^{T} [/mm] und [mm] W^{T}=S
[/mm]
würde das funktionieren?
|
|
|
| |
|
> mhm...mir ist spontan gerade was eingefallen:
> A ist symmetrisch und definiert ein Skalarprodukt.
> Wenn man Vektoren aus [mm]R^2[/mm] nimmt, die orthogonormal sind
> bezogen auf das Skalarprodukt von A, dann wäre doch :
> [mm]E=S^{T}*A*S[/mm]
> und mit Umformungen: [mm]S*S^{T}=A[/mm]
Hallo,
ich weiß jetzt nicht, was Du meinst.
Wenn S orthonormal ist, ist S^*S=E undnicht =A.
Patricks Hinweis hast Du gelesen?
Gruß v. Angela
|
|
|
|
