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| Aufgabe | Betrachten Sie das Eigenwertproblem [mm] \nabla^2u_{\vec{q}} (\vec{r}) [/mm] = [mm] -\vec{q}^2u_{\vec{q}}(\vec{r}).
[/mm]
Zeigen Sie die Gültigkeit folgenden Ausdrucks:
I = [mm] \int d^{3}r [u^{\ast}_{\vec{q}}(\vec{r})\nabla^{2}u_{\vec{q'}}(\vec{r}) [/mm] - [mm] (\nabla^{2}u^{\ast}_{\vec{q}}(\vec{r}))u_{\vec{q'}}(\vec{r})] [/mm] = [mm] (\vec{q^{2}}-\vec{q'^{2}}) \int d^{3}r [u^{\ast}_{\vec{q}}(\vec{r})u_{\vec{q'}}(\vec{r})]
[/mm]
b) Entwickeln Sie nun eine Funktion nach der Funktion [mm] u_{\vec{q}}(\vec{r}) [/mm] :
[mm] \psi(\vec{r}) [/mm] = [mm] \summe_{\vec{q}} c_{\vec{q}}u_{\vec{q}}(\vec{r})
[/mm]
Zeigen Sie, dass die Koeffizienten [mm] c_{\vec{q}} [/mm] mittels [mm] c_{\vec{q}} [/mm] = [mm] \int d^{3}r [u^{\ast}_{\vec{q}}(\vec{r})\psi(\vec{r})] [/mm] berechnet werden können.
Zeigen Sie ausserdem, das die Vollständigkeitsrelation
[mm] \summe_{\vec{q}} u^{\ast}_{\vec{q}}(\vec{r})u_{\vec{q}}(\vec{r'}) [/mm] = [mm] \delta(\vec{r}-\vec{r'})
[/mm]
gilt. |
Hallo.
Die Gleichheit der Integrale habe ich schon gezeigt.
Mit ist unklar welche Funktion ich wie entwickeln soll. Wäre dankbar wenn mir jemand einen Tipp dazu geben könnte.
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 Fr 23.11.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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