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Forum "Lineare Algebra Sonstiges" - Orthogonale Abbildung
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Orthogonale Abbildung: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:02 Mi 16.05.2012
Autor: chesn

Aufgabe
Sei [mm] (V,\Phi) [/mm] ein euklidischer Vektorraum und $ [mm] v,w\in [/mm] V $ zwei unterschiedliche Vektoren der gleichen Länge. Zeigen Sie, dass eine orthogonale Abbildung [mm] $F\in End_\IR [/mm] (V)$ existiert mit $ F(v)=w $.

Hallo! Meine Idee:
Ist [mm] B=\{b_1,...,b_n\} [/mm] eine Orthonormalbasis von V so gibt es die Darstellung [mm] v=\lambda_1*b_1+...+\lambda_n*b_n. [/mm] Da $ F: [mm] V\to [/mm] V $ gibt es dann auch die Darstellung:

[mm] F(v)=\alpha_1*b_1+...+\alpha_1*b_n [/mm]

Wenn ich jetzt [mm] w=\alpha_1*b_1+...+\alpha_1*b_n [/mm] setze, habe ich dann schon die Existenz der Abbildung bewiesen?

Bzw. wie lasse ich einfließen, dass v,w die gleiche Länge haben?

Wäre noch z.z., dass sie orthogonal ist, d.h. [mm] \Phi(F(v),F(w))=\Phi(v,w) [/mm]

Jetzt dachte ich daran, F so einzuschränken, dass neben F(v)=w auch F(w)=v gilt, darf ich das denn? Dann wäre der Rest trivial...

Danke für jeden Tipp!

Gruß,
chesn

        
Bezug
Orthogonale Abbildung: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 12:44 Do 17.05.2012
Autor: chesn

Hallo! Da niemand antwortet nochmal eine neue Idee:

Ansatz wie oben, also sei [mm] B=\{b_1,...,b_n\} [/mm] eine Orthonormalbasis von V.

Für [mm] v\in [/mm] V gibt es die Darstellung [mm] v=\lambda_1*b_1+...+\lambda_n*b_n. [/mm]

Die Länge von v ist dann nur von den [mm] \lambda_i [/mm] abhängig, da die [mm] b_i [/mm] ja genormt sind.

Dann gibt es ein F, dass die Koeffizienten permutiert, also

[mm] F(v)=\lambda_{\sigma(1)}*b_1+...+\lambda_{\sigma(n)}*b_n [/mm]

Damit erhalte ich ein [mm] w:=\lambda_{\sigma(1)}*b_1+...+\lambda_{\sigma(n)}*b_n [/mm] das die gleiche Länge wie v hat, unter der Vorraussetzung [mm] \lambda_i\not= \lambda_{\sigma(i)} [/mm] für mindestens ein i, sich aber von v unterscheidet.

Nach Skript ist jede längenerhaltende Abbildung orthogonal.

Was haltet ihr davon? Oder ist das Unsinn??

Danke für jeden Tipp!

Lieben Gruß,
chesn

Bezug
                
Bezug
Orthogonale Abbildung: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:20 Sa 19.05.2012
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
        
Bezug
Orthogonale Abbildung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:44 Do 17.05.2012
Autor: hippias


> Sei [mm](V,\Phi)[/mm] ein euklidischer Vektorraum und [mm]v,w\in V[/mm] zwei
> unterschiedliche Vektoren der gleichen Länge. Zeigen Sie,
> dass eine orthogonale Abbildung [mm]F\in End_\IR (V)[/mm] existiert
> mit [mm]F(v)=w [/mm].
>  Hallo! Meine Idee:
>   Ist [mm]B=\{b_1,...,b_n\}[/mm] eine Orthonormalbasis von V so gibt
> es die Darstellung [mm]v=\lambda_1*b_1+...+\lambda_n*b_n.[/mm] Da [mm]F: V\to V[/mm]
> gibt es dann auch die Darstellung:
>  
> [mm]F(v)=\alpha_1*b_1+...+\alpha_1*b_n[/mm]
>  
> Wenn ich jetzt [mm]w=\alpha_1*b_1+...+\alpha_1*b_n[/mm] setze, habe
> ich dann schon die Existenz der Abbildung bewiesen?

Nein, denn Du vertauschst Schlussfolgerung und Voraussetzung: $w$ ist vorgegeben, weshalb Du es nicht einfach als  $F(v)= [mm] \alpha_1*b_1+...+\alpha_1*b_n$ [/mm] festlegen kannst. Zumal das $F$ erst konstruiert werden soll, doch Du setzt es als gegeben voraus.

Versuche Orthogonalbasen zu konstruieren, die $v$ bzw. $w$ enthalten und versuche damit das $F$ zu definieren.

>  
> Bzw. wie lasse ich einfließen, dass v,w die gleiche Länge
> haben?
>  
> Wäre noch z.z., dass sie orthogonal ist, d.h.
> [mm]\Phi(F(v),F(w))=\Phi(v,w)[/mm]
>  
> Jetzt dachte ich daran, F so einzuschränken, dass neben
> F(v)=w auch F(w)=v gilt, darf ich das denn? Dann wäre der
> Rest trivial...
>  
> Danke für jeden Tipp!
>  
> Gruß,
>  chesn


Bezug
        
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Orthogonale Abbildung: endliche Dimension?
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:14 Do 17.05.2012
Autor: Marcel

Hallo,

> Sei [mm](V,\Phi)[/mm] ein euklidischer Vektorraum und [mm]v,w\in V[/mm] zwei
> unterschiedliche Vektoren der gleichen Länge. Zeigen Sie,
> dass eine orthogonale Abbildung [mm]F\in End_\IR (V)[/mm] existiert
> mit [mm]F(v)=w [/mm].
>  Hallo! Meine Idee:
>   Ist [mm]B=\{b_1,...,b_n\}[/mm] eine Orthonormalbasis von V

soweit ich weiß, ist ein euklidischer Raum ein reeller Vektorraum mit Skalarprodukt. Bei Deiner Idee oben machst Du schon die Einschränkung, dass dieser endliche Dimension habe - ich sehe keinen Grund, warum man das annehmen darf, es sei denn, ihr betrachtet nur euklidische Vektorräume endlicher Dimension oder habt den Begriff halt dann entsprechend mit dieser Einschränkung definiert (was ich für didaktisch unschön halten würde). Natürlich hindert Dich niemand daran, erstmal solch' einen eukl. Vektorraum endlicher Dimension zu betrachten - manchmal sind dann ja alle Ideen evtl. auf allg. eukl. VRe übertragbar - aber Du solltest Dir jedenfalls dessen bewußt sein, dass Du bei Dir schon an obiger Stelle [mm] $\dim(V) [/mm] < [mm] \infty\,$ [/mm] voraussetzt!

Gruß,
  Marcel

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Orthogonale Abbildung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:13 Mo 21.05.2012
Autor: roydebatzen

Hey Bro,

ein Tipp, orthogonale Abbildungen sind längenerhaltend, d.h.:
da ||v||=||w|| und s.o. ||F(v)||=||v||=||w||
folgt zumindest, dass wenn es existiert, ist es längenerhaltend.

Gib mir bitte nen Hinweis für die Existenz falls du einen hast.

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