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Hallo. Ich habe ein Problem all die Saätze und Definitionen zu orthofgonalen Abbildungen zu sortieren. Ich soll nun auch noch eine Aufgabe dazu lösen. Wärt ihr so net und könntet mir vielleicht helfen?
Die Aufgabe lautet: Wir betrachten den euklidischen Vektorraum [mm] \IR^2 [/mm] mit dem Standardskalarprodukt <x,y> und die Matrixabbildung A: [mm] \IR^2 \to \IR^2 \vektor{x_1 \\ x_2} \to \vektor{a_1_1x_1 + a_1_2x_2 \\ a_2_1x_1 + a_2_2x_2}. [/mm] Sei [mm] b=\vektor{1 \\ -3}.
[/mm]
Ich soll nun die Koeffizienten [mm] a_1_1,a_1_2,a_2_1,a_2_2 \in \IR [/mm] so berechnen, dass:
1. der erste Spaltenvektor der Matrix A die länge 1 hat und in die selbe Richtung zeigt wie b und
2. die Matrixabbildung A orthogonal ist
Eine Matrix ist orthogonal, wenn gilt: [mm] A^T [/mm] A=E
Diesen Satz zu überprüfen ist ja fast kein Problem (weiß allerdings nicht, was mit E gemeint ist). Aber zunächst brauche ich doch erstmal eine Matrix. Wie komme ich jetzt auf diese? Wie kann ich diese berechnen?
Da es ja im Prinzip um die Drehung geht, würde ich sagen, dass ich das vielleicht irgendwie mit [mm] R(\phi)=\pmat{ cos(\phi) & -sin(\phi) \\ sin(\phi) & cos(\phi) } [/mm] berechnen könnte!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:28 So 13.01.2008 | | Autor: | Tagesschau |
hi,
wie lang ist denn b?
mit was müssteste den multiplizieren, damit er die länge 1 hat?
greez,
ts
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na b ist [mm] \vektor{1\\-3}. [/mm] Ich müsse also -3 mit [mm] \bruch{1}{3} [/mm] multiplizieren um auf 1 zu kommen. Oder was wolltest du jetzt wissen?
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> na b ist [mm]\vektor{1\\-3}.[/mm] Ich müsse also -3 mit [mm]\bruch{1}{3}[/mm]
> multiplizieren um auf 1 zu kommen. Oder was wolltest du
> jetzt wissen?
Hallo,
er wollte wissen, welche Länge der Vektor b hat.
Wie berechnet man eigentlich die Länge/den Betrag v. Vektoren? (Du solltest das sogar aus der Schule wissen.)
Da schau mal in Deinen Unterlagen nach, und mach es Dir zusätzlich anhand einer Zeichnung klar, dann vergißt Du es nämlich nicht so leicht wieder:
mal Dir ein Koordinatensystem, zeichne den Vektor (3,4) ein und berechne seine Länge.
Gruß v. Angela
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> Hallo. Ich habe ein Problem all die Saätze und Definitionen
> zu orthofgonalen Abbildungen zu sortieren. Ich soll nun
> auch noch eine Aufgabe dazu lösen. Wärt ihr so net und
> könntet mir vielleicht helfen?
Hallo,
wenn ich das so lese, komme ich zu dem Entschluß, daß Du doch besser zunächst die Definitionen und wichtigen Sätze lernen solltest...
> Eine Matrix ist orthogonal, wenn gilt: [mm]A^T[/mm] A=E
>
> Diesen Satz zu überprüfen ist ja fast kein Problem (weiß
> allerdings nicht, was mit E gemeint ist).
Das ist skurril... Wie willst Du irgendwas prüfen, wenn Du nicht weißt, was zu prüfen ist?
Mit E ist - wie so oft - die Einheitsmatrix gemeint, wenn sie nicht gerade E heißt, ist ihr Name meist I.
Bevor Du die Aufgabe löst, mußt Du als allerunterste Mindestausstattung wissen:
1. Was ist ein normierter Vektor und wie normiert man Vektoren
2. Woran erkennt man, ob Vektoren orthogonal sind
3. wodurch sind lineare Abbildungen eindeutig bestimmt?
4. was ist die darstellende Matrix einer Linearen Abbildung bzgl einer vorgegebenen Basis, und wie bekommt man die
5. Was gilt für die Spalten einer orthogonalen Matrix?
>
> Die Aufgabe lautet: Wir betrachten den euklidischen
> Vektorraum [mm]\IR^2[/mm] mit dem Standardskalarprodukt <x,y> und
> die Matrixabbildung A: [mm]\IR^2 \to \IR^2 \vektor{x_1 \\ x_2} \to \vektor{a_1_1x_1 + a_1_2x_2 \\ a_2_1x_1 + a_2_2x_2}.[/mm]
> Sei [mm]b=\vektor{1 \\ -3}.[/mm]
> Ich soll nun die Koeffizienten
> [mm]a_1_1,a_1_2,a_2_1,a_2_2 \in \IR[/mm] so berechnen, dass:
> 1. der erste Spaltenvektor der Matrix A die länge 1 hat
> und in die selbe Richtung zeigt wie b und
> 2. die Matrixabbildung A orthogonal ist
>
> Eine Matrix ist orthogonal, wenn gilt: [mm]A^T[/mm] A=E
>
> Diesen Satz zu überprüfen ist ja fast kein Problem (weiß
> allerdings nicht, was mit E gemeint ist). Aber zunächst
> brauche ich doch erstmal eine Matrix. Wie komme ich jetzt
> auf diese? Wie kann ich diese berechnen?
In den Spalten der darstellenden Matrix stehen die Bilder der Basisvektoren.
Es ist gefordert, daß ein Einheitsvektor in Richtung b in der ersten Spalte steht.
Damit kennst Du bereits das Bild des ersten Basisvektors.
Du solltest wissen, daß die darstellende Matrix einer orthogonalen Abbildung orthogonal ist bzgl jeder Orthonormalbasis.
Wenn Du als Basis die Standardbsis nimmst, hast Du eine ONB.
Du mußt Dich also so organisieren, daß das Bild v. [mm] e_2 [/mm] die Lange 1 hat und orthogonal zum Bild v. [mm] e_1 [/mm] ist. (Skalarprodukt =0).
Wie gesagt: kläre vor dem Beginn die nötigen Begriffe.
Gruß v. Angela
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