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Orthogonalbasis berechnen: Tipps
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:12 So 17.06.2012
Autor: Mathegirl

Hallo!

Ich habe eine Frage...sind Orthonormalbasis und Orthogonalbasis tatsächlich das gleiche?

a) Ich soll die Orthogonalbasis von A= [mm] \pmat{ 0 & -1 & 2 \\ -1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 0 } [/mm]

b) und eine Orthonormalbasis von [mm] A=\pmat{ 2 & 1 & -2 \\ -1 & 3 & 2 \\-2 & 2 & 4 } [/mm] mit dem Erhard-Schmittschem Orthonormalisierungsverfahren.

Ist das das gleiche wie das Gram-Schmidt Verfahren?

Kann ich dieses ...Schmidt Verfahren nicht für beide Aufgabenteile nutzen, auch wenn es nur für den zweiten konkret angegeben ist?

Und noch eine letzte Frage: Kann ich bei beiden Matrizen die Einheitsbasen nehmen zum Rechnen?


MfG
Mathegirl

        
Bezug
Orthogonalbasis berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:43 So 17.06.2012
Autor: fred97


> Hallo!
>  
> Ich habe eine Frage...sind Orthonormalbasis und
> Orthogonalbasis tatsächlich das gleiche?

Nein. Ist [mm] B=\{b_1,...b_n\} [/mm] eine Basis eines Vektoraumes mit Skalarprodukt <*|*>, so heißt B eine Orthogonalbasis, wenn [mm] =0 [/mm] ist für j [mm] \ne [/mm] k.

B heißt  Orthonormalbasis , wenn B eine Orthogonalbasis ist und zusätzlich gilt: [mm] =1 [/mm]  für j=1,...,n.


>  
> a) Ich soll die Orthogonalbasis von A= [mm]\pmat{ 0 & -1 & 2 \\ -1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 0 }[/mm]

Von was sollst Du eine solche Basis bestimmen ? Vom Kern von A oder von Bild(A) ?

>  
> b) und eine Orthonormalbasis von [mm]A=\pmat{ 2 & 1 & -2 \\ -1 & 3 & 2 \\-2 & 2 & 4 }[/mm]
> mit dem Erhard-Schmittschem Orthonormalisierungsverfahren.

Von was sollst Du eine solche Basis bestimmen ? Vom Kern von A oder von Bild(A) ?

>
> Ist das das gleiche wie das Gram-Schmidt Verfahren?

Schau mal hier:

http://de.wikipedia.org/wiki/Gram-Schmidtsches_Orthogonalisierungsverfahren

FRED

>
> Kann ich dieses ...Schmidt Verfahren nicht für beide
> Aufgabenteile nutzen, auch wenn es nur für den zweiten
> konkret angegeben ist?
>  
> Und noch eine letzte Frage: Kann ich bei beiden Matrizen
> die Einheitsbasen nehmen zum Rechnen?
>  
>
> MfG
>  Mathegirl


Bezug
                
Bezug
Orthogonalbasis berechnen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:42 So 17.06.2012
Autor: Mathegirl

Aufgabe
[mm] K=\IR [/mm] und [mm] \phi_A [/mm] die Bilinearform [mm] \phi_A(x,y)=x^TAy [/mm] mit [mm] A=\pmat{ 2 & -1 & 2 \\ -1 & 3 & 2 \\ -2 & 2 & 4 } [/mm]

Zeige: [mm] \phi_A [/mm] ist positiv definit, indem sie eine Orthonormalbasis von [mm] \IR^3 [/mm] bezüglich [mm] \phi_A [/mm] mit dem E.S._verfahren kontruieren.


Okay..habe mir dazu mal gedanken gemacht....

Man könnte von der kanonischen Standardbasis ausgehen,

also [mm] e(e_1,e_2,e_3)=(\vektor{1 \\ 0 \\ 0}, \vektor{0 \\ 1 \\ 0},\vektor{0 \\ 0 \\ 1}) [/mm]

[mm] v_1=3_1 [/mm]

[mm] _A= (1,0,0)*A=\pmat{ 2 & -1 & 2 \\ -1 & 3 & 2 \\ -2 & 2 & 4 } [/mm]
[mm] *\vektor{1 \\ 0 \\ 0}=-4 [/mm]

[mm] v_2=\vektor{0 \\ 1 \\ 0}-\bruch{<\vektor{1 \\ 0 \\ 0},\vektor{0 \\ 1 \\ 0}>_A }{\vektor{1 \\ 0 \\ 0},\vektor{1 \\ 0 \\ 0}_A }*\vektor{1 \\ 0 \\ 0} [/mm]

[mm] _A=30 [/mm]

Und das selbe mit [mm] v_3 [/mm]

[mm] v_2=\vektor{0 \\ 0 \\ 1}-\bruch{<\vektor{1 \\ 2 \\ 0},\vektor{0 \\ 0 \\ 1}>_A }{\vektor{1 \\ 2 \\ 0},\vektor{1 \\ 2 \\ 0}_A }*\vektor{1 \\ 2 \\ 0} [/mm]

= 2

Orthonormalbasis ist dann:

[mm] B:=(\bruch{1}{\wurzel{4}}\vektor{1 \\ 0 \\ 0},\bruch{1}{\wurzel{30}}\vektor{1 \\ 2 \\ 0},\bruch{1}{\wurzel{2}}\vektor{-1 \\ -2 \\ 0}) [/mm]

Stimmt  das Prinzip wie ich gerechnet habe? Jetzt mal von Rechenfehlern abgesehen....

Wenn ich jetzt positiv definitit zeigen soll muss ich eine Transformationsbasis mit der eben berechneten Orthonormalbasis aufstellen und damit zeigen, dass positiv definit gilt?


Wenn ich nun zu Aufgabenteil a) eine Orthogonalmatrix aufstellen soll...mache ich auch das auch mit diesem Verfahren? Aber dann wäre das ja das gleiche...


MfG
Mathegirl

Bezug
                        
Bezug
Orthogonalbasis berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:12 Di 19.06.2012
Autor: angela.h.b.


> [mm]K=\IR[/mm] und [mm]\phi_A[/mm] die Bilinearform [mm]\phi_A(x,y)=x^TAy[/mm] mit
> [mm]A=\pmat{ 2 & -1 & 2 \\ -1 & 3 & 2 \\ -2 & 2 & 4 }[/mm]
>  
> Zeige: [mm]\phi_A[/mm] ist positiv definit, indem sie eine
> Orthonormalbasis von [mm]\IR^3[/mm] bezüglich [mm]\phi_A[/mm] mit dem
> E.S._verfahren kontruieren.
>  
> Okay..habe mir dazu mal gedanken gemacht....
>  
> Man könnte von der kanonischen Standardbasis ausgehen,
>
> also [mm]e(e_1,e_2,e_3)=(\vektor{1 \\ 0 \\ 0}, \vektor{0 \\ 1 \\ 0},\vektor{0 \\ 0 \\ 1})[/mm]
>  
> [mm]v_1=3_1[/mm]
>  
> [mm]_A= (1,0,0)*A=\pmat{ 2 & -1 & 2 \\ -1 & 3 & 2 \\ -2 & 2 & 4 }[/mm]
>  
> [mm]*\vektor{1 \\ 0 \\ 0}=-4[/mm]
>  
> [mm]v_2=\vektor{0 \\ 1 \\ 0}-\bruch{<\vektor{1 \\ 0 \\ 0},\vektor{0 \\ 1 \\ 0}>_A }{\vektor{1 \\ 0 \\ 0},\vektor{1 \\ 0 \\ 0}_A }*\vektor{1 \\ 0 \\ 0}[/mm]
>  
> [mm]_A=30[/mm]
>  
> Und das selbe mit [mm]v_3[/mm]
>  
> [mm]v_2=\vektor{0 \\ 0 \\ 1}-\bruch{<\vektor{1 \\ 2 \\ 0},\vektor{0 \\ 0 \\ 1}>_A }{\vektor{1 \\ 2 \\ 0},\vektor{1 \\ 2 \\ 0}_A }*\vektor{1 \\ 2 \\ 0}[/mm]
>  
> = 2
>  
> Orthonormalbasis ist dann:
>  
> [mm]B:=(\bruch{1}{\wurzel{4}}\vektor{1 \\ 0 \\ 0},\bruch{1}{\wurzel{30}}\vektor{1 \\ 2 \\ 0},\bruch{1}{\wurzel{2}}\vektor{-1 \\ -2 \\ 0})[/mm]
>  
> Stimmt  das Prinzip wie ich gerechnet habe? Jetzt mal von
> Rechenfehlern abgesehen....

Hallo,

was Du tust, ist schonmal gut - gemeint.
Daß es nicht richtig gut sein kann, solltest Du erkennen, solltest Du erkennen, wenn Du Deine Basis B anschaust: sie ist keine Basis...

Im Hinblick auf Rechenfehler habe ich Dein Tun nicht untersucht, aber Du solltest auf jeden Fall vor der Berechnung von [mm] v_3 [/mm] nochmal den Algorithmus anschauen.

Wenn Du eine Basis gefunden hast, kannst Du auf jeden Fall mal [mm] A*v_i [/mm] ausrechnen für i=1,2,3.

>  
> Wenn ich jetzt positiv definitit zeigen soll muss ich eine
> Transformationsbasis mit der eben berechneten
> Orthonormalbasis aufstellen
> und damit zeigen, dass positiv
> definit gilt?

Mach mal vor, was Du meinst.

>  
>
> Wenn ich nun zu Aufgabenteil a) eine Orthogonalmatrix
> aufstellen soll...mache ich auch das auch mit diesem
> Verfahren? Aber dann wäre das ja das gleiche...

Nun, das wäre kein Hinderungsgrund.
Hast Du's mal versucht? Würd' ich an Deiner Stelle unbedingt mal tun. Und?

Wie lautet denn die genaue Aufgabenstellung zu A?

LG Angela


>  
>
> MfG
>  Mathegirl  


Bezug
                                
Bezug
Orthogonalbasis berechnen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:19 Mi 20.06.2012
Autor: Mathegirl

b)
[mm] A=\pmat{ 2 & -1 & -2 \\ -1 & 3 & 2 \\ -2 & 2 & 4 } [/mm]

[mm] \phi_A= x^T*A*y [/mm]

Zeige, dass [mm] \phi_A [/mm] positiv definiti ist, dem sie mit dem Erhardt Schmidt Verfahren eine Orthogonalbasis ermitteln.

Ich soll die b) nach Erhardt Schmitdtschem Verfahren berechnen, nicht nach Gram Schmidt...war mein Fehler...Nur warum kann ich keine kanonische Standardbasis nutzen?In der VL wurde gesagt, die kann immer benutzt werden..das verfahren anzuwenden ist kein Problem..


a) [mm] A=\pmat{ 0 & -1 & 2 \\ -1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 0} [/mm]

K ist ein Körper mit der Charakteristik ungleich 2. [mm] \phi_A =x^T*A*y [/mm] ist die Bilinearform. Berechne eine Orthogonalbasis des [mm] K^3 [/mm] bzgl. [mm] \phi_A. [/mm]

Hier war nicht angegeben mit welchem Verfahren wir das machen sollen. Allerdings haben wir in der VL bisher nur Erhardt Schmidt Verfahren besprochen. Aber das kann ich ka nicht nutzen, sonst wäre Orthogonalbasis ja das gleiche wie Orthonormalbasis.

Bei einer Orthonormalbasis müssen alle Vektoren senkrecht zueinander stehen , also [mm] =0 [/mm]

Und bei der Orthogonalbasis mus zusätzlich gelten [mm] =1 [/mm]

d.h. ich kann eigentlich mit dem selben Verfahren eine Basis bestimmen, ich brauche jedoch nicht zu normieren??


MfG
Mathegirl

Bezug
                                        
Bezug
Orthogonalbasis berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:10 Mi 20.06.2012
Autor: angela.h.b.


> b)
> [mm]A=\pmat{ 2 & -1 & -2 \\ -1 & 3 & 2 \\ -2 & 2 & 4 }[/mm]
>  
> [mm]\phi_A= x^T*A*y[/mm]
>  
> Zeige, dass [mm]\phi_A[/mm] positiv definiti ist, dem sie mit dem
> Erhardt Schmidt Verfahren eine Orthogonalbasis ermitteln.
>
> Ich soll die b) nach Erhardt Schmitdtschem Verfahren
> berechnen, nicht nach Gram Schmidt...

Hallo,

es dürfte sich hier um ein und dasselbe Verfahren handeln.
Erhard Schmidt ist der Schmidt vom Verfahren der Herren Gram und Schmidt.


> war mein Fehler...Nur
> warum kann ich keine kanonische Standardbasis nutzen?

??? Hat das irgendwer behauptet?
Wenn ja: wer?


> In der
> VL wurde gesagt, die kann immer benutzt werden..das
> verfahren anzuwenden ist kein Problem..

Für Dich anscheinend schon.
Ich hatte Dir doch zuvor gesagt, an welcher Stelle Dir ein prinzipieller Fehler unterlaufen ist.


>  
>
> a) [mm]A=\pmat{ 0 & -1 & 2 \\ -1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 0}[/mm]
>  
> K ist ein Körper mit der Charakteristik ungleich 2. [mm]\phi_A =x^T*A*y[/mm]
> ist die Bilinearform. Berechne eine Orthogonalbasis des [mm]K^3[/mm]
> bzgl. [mm]\phi_A.[/mm]
>  
> Hier war nicht angegeben mit welchem Verfahren wir das
> machen sollen. Allerdings haben wir in der VL bisher nur
> Erhardt Schmidt Verfahren besprochen. Aber das kann ich ka
> nicht nutzen, sonst wäre Orthogonalbasis ja das gleiche
> wie Orthonormalbasis.

Ich sagte schon, daß dieses Argument keins ist.
Hast Du mal versucht, das Verfahren zu verwenden?
Wenn ja: was ist rausgekommen?
Wenn nein: warum nicht?


>
> Bei einer Orthonormalbasis müssen alle Vektoren senkrecht
> zueinander stehen , also [mm]=0[/mm]
>
> Und bei der Orthogonalbasis mus zusätzlich gelten
> [mm]=1[/mm]

Nö, es ist genau andersrum, wie man, wenn man weiß, was "normieren" ist, schon ahnt.

>  
> d.h. ich kann eigentlich mit dem selben Verfahren eine
> Basis bestimmen, ich brauche jedoch nicht zu normieren??

Ich fänd's nicht dumm, das mal zu probieren. Man lernt auf jeden Fall etwas dabei.

Ansonsten, falls Du lehrreiche Irrwege prinzipiell scheust:

Du suchst also eine Basis, bzgl. derer die darstellende Matrix Deiner Bilinearform, die Gram-Matrix, eine Diagonalmatrix ist.

A ist symmetrisch, also orthogonal diagonalisierbar.
Die zugehörige Basis solltest Du bestimmen.

LG Angela

>  
>
> MfG
>  Mathegirl


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