Orientierung < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:32 Fr 02.01.2015 | | Autor: | Rocky14 |
| Aufgabe | | Beweisen Sie: Jede eindimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit ist orientierbar. |
Hallo Leute,
ich habe ein paar Schwierigkeiten bei obiger Aufgabe.
Erstmal zum Verständnis:
eindimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit - Kann ich mir das als offenes Intervall des [mm] \IR^{1} [/mm] vorstellen? Kann ich mir das überhaupt irgendwie vorstellen? Das ist nämlich mein Hauptproblem.
Orientierung - man könnte quasi sagen, es gibt innen und außen bzw. oben und unten?! Beim Möbiusband (welches ja nicht orientiert ist) kann man das ja nicht genau sagen.
Ich habe als Hilfsmittel folgenden Satz aus der Vorlesung:
Angenommen, ich habe 2 differenzierbar verträgliche Karten:
[mm] \alpha: U_{\alpha} \to V_{\alpha} \subset \IR [/mm] und
[mm] \beta: U_{\beta} \to V_{\beta} \subset \IR
[/mm]
Wenn ich nun [mm] (\beta \* (\alpha)^{-1})' [/mm] betrachte, dann ist dies strikt positiv oder strikt negativ auf [mm] \alpha(U_{\beta} \cap U_{\alpha}). [/mm]
Kann ich mir nun die eindimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit irgendwie aus diesen 2 Karten zusammenbasteln?
Sorry, ich komme mit diesen ganzen Karten und Mannigfaltigkeiten immer noch nicht klar. Ich bin dankbar für jede Hilfe!
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:48 Fr 02.01.2015 | | Autor: | Rocky14 |
Ich habe mich nochmal etwas mit dem Satz aus der Vorlesung befasst:
Ist die Ableitung $ [mm] (\beta [/mm] * [mm] (\alpha)^{-1})' [/mm] $ strikt positiv, so sind [mm] \alpha [/mm] und [mm] \beta [/mm] äquivalent und somit orientierungsgleich.
Ist die Ableitung $ [mm] (\beta [/mm] * [mm] (\alpha)^{-1})' [/mm] $ strikt negativ, so sind [mm] \alpha [/mm] und [mm] \beta [/mm] nur schwach äquivalent und somit sind die beiden Parametrieriungen entgegengesetzt orientiert.
Das heißt doch, dass der 2. Fall nicht eintreten kann bei eindimensionalen differenzierbaren Mannigfaltigkeiten ?!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:09 So 04.01.2015 | | Autor: | andyv |
Was sollen [mm] $\alpha, \beta$ [/mm] sein?
Karten für die Mannigfaltigkeit?
Dann lautet die Antwort auf deine Frage: Nein.
Ueberlege dir selber ein Gegenbeispiel dafür.
Liebe Grüße
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:35 Sa 03.01.2015 | | Autor: | Ladon |
Hallo Rocky,
ich würde wie folgt vorgehen:
Zeige zunächst:
Jede eindimensionale zusammenhängende Mannigfaltigkeit ist entweder diffeomorph zu [mm] \IR [/mm] oder [mm] S^1. [/mm]
Folgere daraus
Jede eindimensionale Mannigfaltigkeit ist orientierbar.
Ersteres kannst du, wenn ich mich nicht irre, im ![[]](/images/popup.gif) Seminar zur Topologie von Flächen (Habermann, L. & K.) unter §1.3 nachlesen. Sicherlich gibt es auch eine einfacherere Möglichkeit deine Aussage zu beweisen.
Was die Vorstellung von eindimensionalen differenzierbaren Mannigfaltigkeiten betrifft, kannst du dir zunächst offene Teilmengen des [mm] \IR [/mm] vorstellen, die als Vereinigung ebenfalls offen sind und genau dann zusammenhängend sind, wenn sie ein offenes Intervall bilden 
[a,b] mit [mm] a,b\in\IR [/mm] und a<b ist keine eindimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit, denn für die Randpunkte existiert keine offene Umgebung homöomorph zu einem offenen Intervall.
MfG
Ladon
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:06 Sa 03.01.2015 | | Autor: | Rocky14 |
Danke für deine Hilfe :)
Gerade was das Thema eindimensionale diffbare Mf betrifft, hast du mir sehr geholfen. Endlich kann ich mir was darunter vorstellen.
Wenn es nicht zu viel Aufwand ist, kannst du mir das evtl genauso für folgende Mannigfaltigkeiten erklären?
- zusammenhängende eindimensionale Mannigfaltigkeit
- d-dimensionale parametrisierbare Mannigfaltigkeit
- eingebettete Mannigfaltigkeit
- topologische Mannigfaltigkeit
Das wäre wirklich super, wenn du das machen würdest ;)
Mit den Definitionen komme ich nämlich nicht wirklich klar.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:44 Sa 03.01.2015 | | Autor: | Ladon |
Hallo Rocky,
fangen wir mit dem Begriff an, den ich am meisten mag 
Die anderen Begriffe werde ich evtl. noch klären, wenn ich Zeit habe.
topologische Mannigfaltigkeit
Eine topologische n-Mannigfaltigkeit ist ein topologischer Raum M, für den gilt:
1.) M ist Hausdorffsch.
Man findet also zu je zwei verschiedenen Punkten disjunkte Umgebungen. Man kann zwei Punkte also gut unterscheiden (Beispiel: [mm] \IR). [/mm]
2.) M erfüllt das 2. Abzählbarkeitsaxiom.
Jeder Punkt hat also eine höchstens abzählbare Umgebungsbasis (2. Abzählbarkeitsaxiom). Der Topologische Raum ist demnach relativ "klein" von topologischen Maßstäben aus XD. Eine Umgebungsbasis eines Punktes x bzgl. [mm] (X,\tau) [/mm] ist ein System von Umgebungen [mm] $U(x,\tau)$ ($\tau$ [/mm] Topologie) von x, wenn jede offene Umgebung von x eine Umgebung aus [mm] U(x,\tau) [/mm] als Teilmenge enthält.
3.) M ist lokal euklidisch, besitzt also für jeden Punkt eine Umgebung, die homöomorph zu einer offenen Teilmenge des [mm] \IR^n [/mm] ist.
Einfachstes Bsp.:
1.) [mm] \IR^n [/mm] oder auch jede offene Teilmenge des [mm] \IR^n. [/mm] Karte ist die Identität.
2.) [mm] S^2\subseteq\IR^3 [/mm] (vorstellbar als Erdkugel) mit durch die Standardtopologie des [mm] \IR^3 [/mm] induzierte Topologie. [mm] \Rightarrow $S^2$ [/mm] ist Hausdorffsch und besitzt abzählbare Topologie. Karten durch zwei stereographische Projektion. Definiere dadurch zwei Homöomorphismen.
Anschaulich ist klar, dass die [mm] S^2 [/mm] lokal einer offenen Teilmenge des [mm] \IR^2 [/mm] entspricht, denn die Menschen glaubten ja lange Zeit, dass die Erde sogar global einer Scheibe entspricht. Außerdem findet man viele Landkarten, die ein Gebiet lokal als Ebene darstellen
Quelle
LG
Ladon
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:03 So 04.01.2015 | | Autor: | andyv |
Hallo,
Jede (diffbare) Mannigfaltigkeit besitzt einen abzählbaren Atlas [mm] $(h_i,U_i)$ [/mm] und die Kartenwechsel [mm] $w_{ij}: h_j(U_i \cap U_j) \to h_i(U_i \cap U_j), [/mm] x [mm] \mapsto h_i h_j^{-1}$ [/mm] sind Diffeomorphismen.
Deine Aufgabe ist die Existenz von einem Atlas zu zeigen, sodass für die zugehörigen Kartenwechsel [mm] w_{ij} [/mm] gilt: $w'_{ij}>0$ für alle $i<j$. Dann (und nur dann) ist die Mannigfaltigkeit orientierbar.
Nimm dafür an, dass die Bilder der Karten schon offene Intervalle sind (Wozu? Funktioniert das?)
Der Hinweis (welcher im Uebrigen leicht aus dem Zwischenwertsatz gefolgert werden kann, da $ [mm] \alpha(U_{\beta} \cap U_{\alpha}) [/mm] $ als (nichtleerer) Schnitt zweier offener Intervalle wieder ein offenes Intervall ist.) zeigt dir nun, dass die Kartenwechsel entweder strikt positiv oder strikt negativ sind.
Du musst also nur noch die Karten so anpassen, dass alle Kartenwechsel positiv sind, was problemlos möglich ist.
Liebe Grüße
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:23 Mo 05.01.2015 | | Autor: | Rocky14 |
Vielen Dank für Deine Hilfe! :D
Ich setze mich direkt dran und versuche mal das Ganze zu verschriftlichen.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:36 So 04.01.2015 | | Autor: | Ladon |
Fortsetzung...
eindimensionale zusammenhängende Mannigfaltigkeit
Dazu habe ich bereits oben ein Beispiel gegeben. Eine weitere zusammenhängende eindimensionale Mannigfaltigkeit ist offensichtlich die 1-Sphäre [mm] S^1.
[/mm]
d-dimensionale parametrisierbare Mannigfaltigkeit
Eine d-dimensionale Mannigfaltigkeit die parametrisierbar ist. Wann ist eine d-dim Mannigfaltigkeit M parametrisierbar?
Genau dann, wenn eine differenzierbare Abbildung [mm] \phi:\IR^n\supseteq U\to \IR^d [/mm] existiert mit [mm] Rang(D\phi_x)=n $\forall x\in [/mm] U$, s.d. [mm] M=Bild(\phi) [/mm] (für n=1 reicht [mm] \phi'\neq0 [/mm] statt der Forderung des Rangs).
Beispiel für bekannte Parametrisierungen:
1.) [mm] S^1\subseteq\IR^2 [/mm] wird durch [mm] \phi(t)=(cos(t),sin(t)) [/mm] parametrisiert, wobei [mm] \phi(t)'=(-sin(t), cos(t))\neq0 $\forall [/mm] t$.
2.) Zylinderwand im [mm] \IR^3: $\phi(x,y)=(cos(x), [/mm] sin(x), y)$ mit [mm] Rang\pmat{ -sin(x) & 0 \\ cos(x) & 0 \\ 0 & 1 }=2.
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:22 Mo 05.01.2015 | | Autor: | Rocky14 |
Vielen vielen vielen Dank für deine Mühe !
Ich quäle mich seit Wochen mit dem Thema und habe nun das 1. Mal das Gefühl, was verstanden zu haben.
Nun gehe ich motivierter an die Klausurvorbereitungen und das Übungsblatt ;)
|
|
|
|
