Ordnung von zykl.Untergruppe < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 16:26 Mi 18.04.2012 | | Autor: | r2d2 |
| Aufgabe | Sei G =<x> eine zyklische Gruppe:
Zeigen Sie: Ist [mm]o(x)=m\in\IN[/mm], so gilt für alle [mm]k\in\IZ :o(x^{k})=\frac{m}{ggT(k,m)}[/mm] |
Hallo,
im Folgenden meine Idee:
Ich betrachte zuerst die Gruppe [mm]G=[/mm]:
Fall 1: [mm]o(x)=1[/mm], d.h. beinhaltet nur das neutrale Element,d.h. [mm]x=e[/mm], und somit gilt sicher [mm]o(x^k)=o(e^k)=o(e)=1= \frac{1}{ggT(k,1)}[/mm]
Fall 2: [mm]o(x)>1[/mm]
Da k, m sicher ein gemeinsames Vielfaches besitzen: also [mm]\exists f\in\IN ,\exists g\in\IZ: f*k = g*m[/mm] gilt:
[mm]{x^{k}}^f = x^{k*f} = x^{g*m} = x^ {m} = x^{0} = e \gdw 0\equiv k*f mod m \gdw m|k*f \gdw \frac{m}{ggT(k,m)}|\frac{k}{ggT(k,m)}*f \gdw [/mm]Lemma von Euklid, da [mm] ggT(\frac{m}{ggT(k,m)},\frac{k}{ggT(k,m)}) = 1[/mm] (betrachte Primfaktoren) [mm]\frac{m}{ggT(k,m)}|f[/mm]
Da die [mm] o(x^k)[/mm] das kleinste [mm]f[/mm] ist, für das obiges gilt, also: [mm] o(x^k)=min \{f\in N|{x^k}^f=e\}[/mm], folgt die Gleichheit und somit obige Formel.
bei [mm] f_{0}:= \frac{m}{ggT(k,m)}[/mm] gilt auch sicher [mm] k*f_{0}=g*m\gdw g=\frac{k}{ggT(k,m)}\in \IZ[/mm]
Ich habe den Beweis nun oft und unterschiedlich geführt und bin schlussendlich zu obigem Ergebnis gekommen. Nur bin ich mir jetzt überhaupt nicht mehr sicher, ob er stimmt. Könnte ihn mir jemand bestätigen oder korrigieren?
Besten Dank
PS: Ich habe die Frage in keinem anderen Forum gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:23 Di 24.04.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
